Density estimates and the fractional Sobolev inequality for sets of zero $s$-mean curvature

Resumo Técnico: Estimativas de Densidade e a Desigualdade de Sobolev Fracionária para Conjuntos de Curvatura Média s-Nula

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma lacuna na teoria da regularidade de superfícies mínimas não locais. Embora seja bem estabelecido que os minimizantes do perímetro $s$-fracionário satisfaçam estimativas de densidade "espessas" (densidade de volume) e estimativas de densidade superficial, o comportamento de conjuntos que são meramente estacionários em relação ao perímetro $s$ (ou seja, conjuntos com curvatura média $s$-nula, $H_{s,E} = 0$) é menos compreendido. Especificamente, era uma questão em aberto se conjuntos de curvatura média $s$-nula satisfazem a estimativa de densidade superficial:
$$\text{Per}(E; B_R(x)) \geq C R^{n-1}$$
para todo $R > 0$ e $x \in \partial^* E$, onde a constante $C$ depende apenas da dimensão $n$ e de $s$. No caso clássico ($s=1$), essa estimativa vale para conjuntos estacionários, mas o cenário não local apresenta desafios porque as fórmulas de monotonicidade padrão para minimizantes não se estendem imediatamente a conjuntos estacionários sem suposições adicionais de estabilidade. Além disso, o artigo observa que, embora existam estimativas de densidade superior para conjuntos estáveis, estimativas de densidade inferior para conjuntos estacionários gerais não estavam explicitamente disponíveis na literatura.

Metodologia
A prova baseia-se numa combinação de desigualdades de interpolação, na técnica de extensão de Caffarelli-Silvestre e em fórmulas de monotonicidade adaptadas ao cenário não local. A metodologia prossegue através dos seguintes passos:

1. Desigualdade de Interpolação (Seção 3): O autor estabelece uma nova desigualdade de interpolação (Teorema 3.1) que limita o perímetro $s$-restrito por uma combinação do perímetro clássico e um termo de erro envolvendo a norma $L^\infty$. Crucialmente, esta desigualdade inclui um termo de erro controlável $\varepsilon R^{n-s}$, o que permite que o erro seja absorvido na estimativa principal durante a prova.
2. Extensão de Caffarelli-Silvestre (Seção 4): O artigo utiliza o problema de extensão associado ao Laplaciano fracionário. Para um conjunto $E$, define-se uma função $U_E$ no semiespaço superior $\mathbb{R}^{n+1}_+$ tal que seu traço se relaciona com a função característica de $E$.
   • Monotonicidade: Citando trabalho recente de [CFSS24a], o artigo emprega uma fórmula de monotonicidade para a quantidade $\Phi_{E,x}(R)$, que representa uma energia de Dirichlet ponderada da extensão $U_E$. Esta fórmula vale para conjuntos $s$-estacionários, não apenas para minimizantes.
   • Limite de Blow-up: O autor prova que, quando $R \to 0$, a quantidade de monotonicidade $\Phi_{E,x}(R)$ converge para uma constante positiva determinada pelo semiespaço $\mathbb{R}^n_+$. Este limite é calculado explicitamente usando funções Gama e serve como limite inferior para a energia.
   • Controle de Energia: É estabelecido um limite superior para $\Phi_{E,x}(R)$ em termos do perímetro $s$-restrito de $E$ (Proposição 4.2).
3. Síntese (Seção 5): Ao combinar o limite inferior (do limite de blow-up e da monotonicidade) com o limite superior (da estimativa de energia de extensão) e a desigualdade de interpolação, o autor deriva uma cadeia de desigualdades. A escolha específica do parâmetro $\varepsilon$ no passo de interpolação permite que os termos de erro sejam absorvidos, produzindo o limite inferior desejado sobre o perímetro clássico.

Resultados Principais

• Teorema 1.1: O resultado principal estabelece que, se $E \subset \mathbb{R}^n$ é um conjunto mensurável com perímetro localmente finito e curvatura média $s$-nula ($H_{s,E} = 0$ em $\partial^* E$), então ele satisfaz a estimativa de densidade superficial:
  $$\text{Per}(E; B_R) \geq C R^{n-1}$$
  para todo $R > 0$. A constante $C$ depende apenas de $n$ e de um limite inferior para $s$, e permanece limitada quando $s \to 1^-$.
• Corolário 1.2: Como aplicação direta, o artigo prova que a desigualdade de Sobolev fracionária vale na fronteira de tais conjuntos. Especificamente, para $u \in C^\infty_0(\partial^* E)$, a desigualdade
  $$\|u\|_{L^{p^*}(\partial^* E)} \leq C [u]_{W^{\alpha, p}(\partial^* E)}$$
  vale, onde $p^* = \frac{np}{n-\alpha p}$. Este resultado baseia-se numa proposição anterior de [CC19], que mostrou que a estimativa de densidade superficial (1.2) implica a desigualdade de Sobolev sem exigir um termo de curvatura média.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer a primeira prova explícita de que conjuntos de curvatura média $s$-nula satisfazem a estimativa de densidade superficial (1.2), uma propriedade conhecida anteriormente principalmente para minimizantes ou conjuntos estáveis. O autor observa que, embora técnicas relacionadas apareçam em trabalhos de [CFSS24a], [CFSS24b] e [CSV19], a afirmação específica desta estimativa de densidade para conjuntos de curvatura média $s$-nula, e sua conexão com a desigualdade de Sobolev fracionária em hipersuperfícies, não havia sido formulada explicitamente na literatura.

A significância do resultado reside em estender ferramentas de regularidade do domínio dos minimizantes para a classe mais ampla de conjuntos estacionários. Ao estabelecer a estimativa de densidade, o artigo permite a derivação da desigualdade de Sobolev fracionária para estes conjuntos, que é uma ferramenta fundamental na análise geométrica. O autor afirma explicitamente que a questão de saber se estimativas de densidade de volume "espessas" (1.1) valem para conjuntos de curvatura média $s$-nula permanece desconhecida na generalidade plena, e o trabalho atual não resolve essa questão específica, embora observe que os contraexemplos clássicos (lâminas e catenoides) não se traduzem diretamente para o cenário não local de uma forma que desprove (1.1).