Flatmates and the bounded cohomology of algebraic groups

Resumen Técnico: Flatmates y la Cohomología Acotada de Grupos Algebraicos

Planteamiento del Problema
El objetivo principal de este trabajo es establecer la anulación de la cohomología continua acotada para grupos algebraicos sobre cuerpos locales no arquimedianos. Específicamente, el artículo aborda la siguiente laguna: mientras que la cohomología continua ordinaria de los grupos algebraicos simples sobre tales cuerpos es conocida por anularse en grados positivos (un resultado clásico de Garland, Casselman, Wigner y Harder), el comportamiento de la cohomología acotada permanecía desconocido.

Este problema se sitúa dentro de un contexto más amplio de la comprensión de la cohomología acotada para grupos de Lie. Mientras que la conjetura de Dupont (que las clases de cohomología continua real de los grupos de Lie simples conexos son acotadas) sigue abierta para muchos grupos, el caso no arquimediano presenta un desafío distinto. En el entorno ordinario, la anulación por encima del rango es trivial debido a que el edificio de Bruhat–Tits asociado es un complejo contractible de esa dimensión. Sin embargo, este principio "suave" falla para la cohomología acotada; por ejemplo, el árbol asociado a $SL_2(\mathbb{Q}_p)$ es contractible, pero admite una cohomología acotada de grado dos no trivial. El artículo pretende demostrar que, contrariamente al comportamiento de los "cuasi-coclos" en otros contextos, la cohomología acotada de estos grupos se anula enteramente en todos los grados positivos.

Metodología
La estrategia de la prueba se basa en una reducción de los grupos algebraicos a la geometría de sus edificios de Bruhat–Tits asociados, seguida de un novedoso enfoque combinatorio de la cohomología acotada de estas estructuras geométricas.

1. Reducción a Edificios: La anulación del teorema para grupos algebraicos (Teorema A) se reduce a una afirmación sobre los grupos de automorfismos de edificios de Bruhat–Tits (Teorema B). Utilizando la teoría de la estructura, el problema se reduce al caso de grupos simples que actúan fuertemente transitivamente sobre edificios euclidianos localmente finitos.
2. El Complejo de Flatmates: La innovación técnica central es el análisis del "complejo de flatmates" (también denominado cokotcomplex). Este complejo simplicial consiste en todas las tuplas de vértices que se encuentran dentro de un mismo apartamento (plano) del edificio. Los autores propusieron previamente este objeto en el contexto de árboles [BM19], pero enfrentaron dificultades combinatorias significativas al intentar generalizarlo a edificios de rango superior.
3. Herramientas Simpliciales y Control de Soporte: Para superar la complejidad combinatoria de configuraciones de puntos arbitrarias en edificios, el artículo introduce un conjunto de herramientas simpliciales:
   • Control de Soporte: Un principio que aprovecha la norma $\ell^1$ en ciclos de homología. Establece que si cada subcomplejo finito con $n$ vértices está contenido en un subcomplejo acíclico con como máximo $\phi(n)$ vértices, el complejo es uniformemente acíclico (admite una homotopía de contracción acotada).
   • Principios de Nervio Uniforme: Los autores desarrollan una versión uniforme del lema del nervio. Demuestran que si una cobertura de un complejo simplicial consiste en hiperesimplices (y sus intersecciones son hiperesimplices), el complejo es uniformemente homotópicamente equivalente al nervio de la cobertura, con cotas que dependen únicamente del grado de homología.
4. Aplicación a Edificios: Los autores aplican estas herramientas al sistema de apartamentos de un edificio euclidiano. Demuestran que el nervio del sistema de apartamentos es uniformemente acíclico. Mediante el principio de nervio uniforme, esto implica que el complejo de flatmates es, por sí mismo, uniformemente acíclico.

Resultos Clave

• Teorema A (Grupos Algebraicos): Para cualquier grupo algebraico $G$ sobre un cuerpo local no arquimediano $k$, la cohomología continua acotada de $G(k)$ con coeficientes reales se anula en cada grado positivo.
• Teorema B (Edificios): Si un grupo localmente compacto $G$ actúa de forma propia y fuertemente transitiva mediante automorfismos sobre un edificio euclidiano localmente finito, su cohomología continua acotada se anula en cada grado positivo.
• Teorema F (Flatmates): El complejo de flatmates de cualquier edificio euclidiano irreducible discreto es uniformemente acíclico. Esto resuelve la "conjetura de los flatmates" planteada en un trabajo anterior [BM19].
• Teoremas D y Dbis (Grupos Aritméticos): El artículo deriva teoremas de anulación e invariancia para grupos $S$-aritméticos.
  • Si $G$ es anisotrópico sobre las completaciones arquimedianas, la cohomología acotada del grupo $S$-aritmético $\Gamma$ se anula en grados $0 < n < 2 \sum_{v \in S} \text{rank}_{K_v}(G)$.
  • Si existen lugares arquimedianos isótropos, la cohomología acotada de $\Gamma$ es isomórfica a la del producto de los correspondientes grupos de Lie arquimedianos en el mismo rango de grados.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el Teorema A proporciona un fortalecimiento de los teoremas clásicos de anulación para grupos no arquimedianos. Mientras que la anulación de la cohomología ordinaria está bien comprendida, la anulación de la cohomología acotada es un "fortalecimiento estricto", lo que implica que incluso los "cuasi-coclos" (como los cuasi-morfismos en grado 2) deben ser triviales.

Los autores posicionan su trabajo como una solución al análogo no arquimediano de la conjetura relativa al isomorfismo entre la cohomología acotada y la ordinaria para grupos de Lie semisimples. Dado que la cohomología ordinaria se anula para estos grupos, el resultado implica que la cohomología acotada también se anula, un hecho conocido anteriormente solo para grupos de rango uno (árboles).

Además, el artículo introduce el principio de "control de soporte" y el "principio de nervio uniforme" como herramientas simpliciales generales. Los autores sugieren que estos métodos son de interés independiente y pueden ser aplicables más allá de los grupos algebraicos, particularmente en contextos que involucran el pegado de complejos o el estudio de grandes grupos de transformación.

Los resultados también completan una pieza faltante en el estudio de la cohomología acotada para grupos $S$-aritméticos, permitiendo la derivación de teoremas de invariancia que relacionan la cohomología de grupos aritméticos discretos con la cohomología continua de sus grupos de Lie ambientales, extendiendo resultados previos que estaban limitados al grado dos o al caso de rango uno.