Flatmates and the bounded cohomology of algebraic groups

Résumé Technique : Flatmates et la cohomologie bornée des groupes algébriques

Énoncé du Problème
L'objectif principal de ce travail est d'établir l'annulation de la cohomologie continue bornée pour les groupes algébriques sur les corps locaux non archimédiens. Plus précisément, l'article traite de la lacune suivante : alors que la cohomologie continue ordinaire des groupes algébriques simples sur ces champs est connue pour s'annuler dans les degrés positifs (un résultat classique de Garland, Casselman, Wigner et Harder), le comportement de la cohomologie bornée restait inconnu.

Ce problème s'inscrit dans un contexte plus large de compréhension de la cohomologie bornée pour les groupes de Lie. Alors que la conjecture de Dupont (selon laquelle les classes de cohomologie continue réelle des groupes de Lie simples connexes sont bornées) reste ouverte pour de nombreux groupes, le cas non archimédien présente un défi distinct. Dans le cadre ordinaire, l'annulation au-dessus du rang est triviale car le complexe de Bruhat–Tits associé est un complexe contractible de cette dimension. Cependant, ce principe « mou » échoue pour la cohomologie bornée ; par exemple, l'arbre associé à $SL_2(\mathbb{Q}_p)$ est contractible, pourtant il admet une cohomologie bornée de degré deux non triviale. L'article vise à prouver que, contrairement au comportement des « quasi-cocycles » dans d'autres contextes, la cohomologie bornée de ces groupes s'annule entièrement dans tous les degrés positifs.

Méthodologie
La stratégie de preuve repose sur une réduction des groupes algébriques à la géométrie de leurs bâtiments de Bruhat–Tits associés, suivie d'une approche combinatoire novatrice de la cohomologie bornée de ces structures géométriques.

1. Réduction aux Bâtiments : Le théorème d'annulation pour les groupes algébriques (Théorème A) est réduit à un énoncé concernant les groupes d'automorphismes des bâtiments de Bruhat–Tits. En utilisant la théorie des structures, le problème est réduit au cas des groupes simples agissant de manière fortement transitive sur des bâtiments euclidiens localement de type fini.
2. Le Complexe des Flatmates : L'innovation technique centrale est l'analyse du « complexe des flatmates » (également appelé cokotcomplex). Ce complexe simplicial consiste en l'ensemble des tuples de sommets qui résident dans un même appartement (plat) du bâtiment. Les auteurs avaient précédemment proposé cet objet dans le contexte des arbres [BM19] mais avaient été confrontés à des difficultés combinatoires significatives pour généraliser cela aux bâtiments de rang supérieur.
3. Outils Simpliciaux et Contrôle du Support : Pour surmonter la complexité combinatoire des configurations de points arbitraires dans les bâtiments, l'article introduit un ensemble d'outils simpliciaux :
   • Contrôle du Support : Un principe exploitant la norme $\ell^1$ sur les cycles d'homologie. Il établit que si chaque sous-complexe fini avec $n$ sommets est contenu dans un sous-complexe acyclique possédant au plus $\phi(n)$ sommets, le complexe est uniformément acyclique (admettant une homotopie contractante bornée).
   • Principes de Nerve Uniforme : Les auteurs développent une version uniforme du lemme du nerve. Ils prouvent que si un recouvrement d'un complexe simplicial est constitué de hypersimplex (et que leurs intersections sont des hypersimplex), le complexe est uniformément homotopiquement équivalent au nerve du recouvrement, avec des bornes dépendant uniquement du degré d'homologie.
4. Application aux Bâtiments : Les auteurs appliquent ces outils au système d'appartements d'un bâtiment euclidien. Ils démontrent que le nerve du système d'appartements est uniformément acyclique. Par le principe du nerve uniforme, cela implique que le complexe des flatmates est lui-même uniformément acyclique.

Résultats Clés

• Théorème A (Groupes Algébriques) : Pour tout groupe algébrique $G$ sur un corps local non archimédien $k$, la cohomologie continue bornée de $G(k)$ avec des coefficients réels s'annule dans tout degré positif.
• Théorème B (Bâtiments) : Si un groupe localement compact $G$ agit proprement et fortement transitivement par automorphismes sur un bâtiment euclidien localement de type fini, sa cohomologie continue bornée s'annule dans tout degré positif.
• Théorème F (Flatmates) : Le complexe des flatmates de tout bâtiment euclidien irréductible discret est uniformément acyclique. Cela résout la « conjecture des flatmates » soulevée dans des travaux antérieurs [BM19].
• Théorèmes D & Dbis (Groupes Arithmétiques) : L'article déduit des théorèmes d'annulation et d'invariance pour les groupes arithmétiques de type $S$.
  • Si $G$ est anisotrope sur les complétions archimédiennes, la cohomologie bornée du groupe arithmétique de type $S$, $\Gamma$, s'annule dans les degrés $0 < n < 2 \sum_{v \in S} \text{rank}_{K_v}(G)$.
  • Si des places archimédiennes isotropes sont présentes, la cohomologie bornée de $\Gamma$ est isomorphe à celle du produit des groupes de Lie archimédiens correspondants dans la même plage de degrés.

Signification et Revendications
L'article affirme que le Théorème A constitue un renforcement des théorèmes d'annulation classiques pour les groupes non archimédiens. Alors que l'annulation de la cohomologie ordinaire est bien comprise, l'annulation de la cohomologie bornée est un « renforcement strict », impliquant que même les « quasi-cocycles » (tels que les quasi-morphismes de degré 2) doivent être triviaux.

Les auteurs positionnent leur travail comme une solution à l'analogue non archimédien de la conjecture concernant l'isomorphisme entre la cohomologie bornée et la cohomologie ordinaire pour les groupes de Lie semi-simples. Puisque la cohomologie ordinaire s'annule pour ces groupes, le résultat implique que la cohomologie bornée s'annule également, un fait qui n'était auparavant connu que pour les groupes de rang un (arbres).

De plus, l'article introduit le principe de « contrôle du support » et le « principe du nerve uniforme » comme des outils simpliciaux généraux. Les auteurs suggèrent que ces méthodes sont d'un intérêt indépendant et peuvent être applicables au-delà des groupes algébriques, particulièrement dans des contextes impliquant le collage de complexes ou l'étude de grands groupes de transformations.

Les résultats complètent également une pièce manquante dans l'étude de la cohomologie bornée pour les groupes arithmétiques de type $S$, permettant de dériver des théorèmes d'invariance qui relient la cohomologie des groupes arithmétiques discrets à la cohomologie continue de leurs groupes de Lie ambiants, étendant ainsi les résultats précédents qui étaient limités au degré deux ou au cas de rang un.