Optimal Path Planning of Airborne Wind Energy Systems with a Flexible Tether

Resumen Técnico: Planificación de Trayectorias Óptimas de Sistemas de Energía Eólica Aerotransportada con un Amarre Flexible

Planteamiento del Problema
Los Sistemas de Energía Eólica Aerotransportada (AWES, por sus siglas en inglés) tienen como objetivo recolectar energía de los vientos a gran altitud utilizando aeronaves y cables de amarre (tethers). Un desafío crítico en la operación de los AWES es establecer trayectorias de vuelo óptimas que maximicen la generación de energía garantizando al mismo tiempo la seguridad durante la tracción (generación de energía), la retracción (recuperación de la aeronave) y las transiciones de fase. Si bien la dinámica de la aeronave está bien estudiada, el modelado del cable de amarre presenta dificultades significativas. La mayoría de los marcos de optimización existentes asumen que el cable es una varilla rígida, una suposición válida durante la fase de tracción de alta tensión, pero inexacta durante la retracción y las transiciones, donde ocurren el arqueo (sag) y la deformación elástica del cable. Los intentos previos de modelar cables flexibles suelen depender de enfoques complejos de masas concentradas o de elementos finitos que aumentan drásticamente la dimensionalidad del sistema y el costo computacional, lo que los hace inadecuados para el control óptimo en tiempo real o eficiente. Además, muchos modelos de alta fidelidad utilizan ecuaciones diferenciales-algebraicas (DAE) de índice 3, lo que introduce problemas de condiciones de consistencia y deriva numérica.

Metodología
Los autores proponen un marco de control óptimo que integra un modelo de cable flexible cuasi-estático en un problema de optimización computacionalmente eficiente. La metodología se estructura de la siguiente manera:

• Modelado: El modelo del sistema se basa en la caja de herramientas MegAWES. Utiliza una representación de coordenadas mínimas para la actitud de la aeronave (ángulos de Euler) en lugar de matrices de rotación para evitar singularidades y reducir la complejidad. La innovación central es la inclusión de un modelo de cable flexible cuasi-estático. Este modelo discretiza el cable en $N+1$ masas concentradas conectadas por segmentos elásticos sin masa. Tiene en cuenta el arqueo gravitacional y la deformación elástica (mediante la Ley de Hooke) y las fuerzas de arrastre, mientras que desprecia las vibraciones elásticas dinámicas para mantener la tractabilidad computacional. El modelo se formula como un sistema DAE de índice 1, donde la fuerza del cable en el cabrestante es una entrada, y la posición de la aeronave se determina mediante un cálculo recursivo y un problema de búsqueda de raíces para satisfacer las restricciones geométricas.
• Formulación de la Optimización: El problema se define como un Problema de Control Óptimo (OCP) continuo y periódico destinado a maximizar la potencia promedio por ciclo. La función de costo incluye la potencia negativa de salida y penalizaciones por maniobras agresivas (aceleración angular y deslizamiento lateral). Las restricciones de trayectoria incluyen límites de fuerza del cable, límites de vuelo y la evitación de colisiones entre el cable y la aeronave.
• Estrategia de Solución: Para abordar la no linealidad y la subactuación del sistema, los autores emplean un enfoque de Homotopía de Punto Interior basado en Penalización (PIPH). La optimización se resuelve en tres etapas:
  1. Inicialización: Se aplican fuerzas y torques ficticios a la aeronave para generar una trayectoria inicial factible.
  2. Transición: Las fuerzas ficticias se eliminan gradualmente, y se utiliza una fuerza de propulsión/frenado para mantener la factibilidad mientras se restauran las aerodinámicas reales.
  3. Optimización: La función de costo cambia su enfoque hacia la maximización de la generación de potencia.
     El problema se transcribe mediante el método de tiro múltiple directo (direct multiple shooting) y se resuelve con el solver IPOPT utilizando CasADi.

Contribuciones Clave

1. Cable Flexible en la Optimización: El artículo integra un modelo de cable flexible físicamente preciso (que tiene en cuenta el arqueo y la elasticidad) en un problema de planificación de trayectorias óptimas sin incurrir en el costo computacional prohibitivo asociado con los modelos dinámicos completos de masas concentradas.
2. Formulación DAE de Índice 1: Los autores introducen una formulación DAE de índice 1 semi-explícita con coordenadas mínimas. Esto elimina los problemas de condición de consistencia y la deriva numérica que suelen asociarse con las técnicas de reducción de índice utilizadas en modelos DAE de índice superior (por ejemplo, índice 3).
3. Análisis Comparativo: El estudio proporciona una comparación directa entre los modelos de cable rígido y flexible dentro del mismo marco de optimización, aislando los efectos de la flexibilidad del cable en las entradas de control y la estimación de potencia.

Resultados
Se realizaron simulaciones para un AWES de escala megavatio con una envergadura de 42.5 m, probando trayectorias de vuelo circulares y lemniscatas bajo un perfil de cizalladura de viento logarítmica (15 m/s).

• Similitud de Trayectoria: Las trayectorias de vuelo óptimas generadas para los modelos de cable rígido y flexible parecen visualmente similares.
• Discrepancias en Control y Potencia: A pesar de las similitudes en las trayectorias, se observaron diferencias significativas en las entradas de control y la potencia cosechada. El modelo de cable rígido sobreestimó consistentemente la potencia cosechada en comparación con el modelo flexible. Para los escenarios probados, el modelo rígido sobreestimó la potencia hasta en un 33%.
• Dinámica de la Fase de Retracción: Las diferencias más pronunciadas ocurrieron durante la fase de retracción y la transición entre fases. El modelo flexible capturó el arqueo del cable, lo que alteró la dirección de la fuerza del cable actuando sobre el sistema de referencia del cuerpo de la aeronave. Este cambio en la dirección de la fuerza requirió diferentes entradas de control para mantener la estabilidad y la eficiencia.
• Costo Computacional: La inclusión del cable flexible (con 10 segmentos) aumentó el tiempo de computación en comparación con el modelo rígido, particularmente para las trayectorias de lemniscata más complejas. Sin embargo, el enfoque cuasi-estático mantuvo el tiempo de computación manejable en hardware estándar.

Significación y Reivindicaciones
El artículo sostiene que, si bien las suposiciones de cable rígido pueden ser suficientes para estimaciones aproximadas durante las fases de alta tensión, fallan al predecir con precisión el rendimiento del sistema durante las fases de retracción y transición. Al despreciar el arqueo del cable, los modelos rígidos conducen a una sobreestimación de la potencia cosechada y potencialmente a estrategias de control inseguras o subóptimas. La formulación DAE de índice 1 propuesta con un cable flexible cuasi-estático ofrece un enfoque equilibrado, proporcionando una mayor fidelidad física que los modelos rígidos, permaneciendo al mismo tiempo lo suficientemente eficiente para aplicaciones de control óptimo. El trabajo demuestra que un modelado preciso de la flexibilidad del cable es esencial para la planificación precisa de trayectorias y la evaluación del rendimiento de los sistemas AWES a gran escala.