Optimal Path Planning of Airborne Wind Energy Systems with a Flexible Tether

기술 요약: 유연한 테더를 갖춘 공중 풍력 에너지 시스템(AWES)의 최적 경로 계획

문제 정의
공중 풍력 에너지 시스템(AWES)은 항공기와 테더를 사용하여 고고도 바람으로부터 에너지를 수확하는 것을 목표로 한다. AWES 운용에 있어 핵심적인 과제는 발전(traction), 회수(retraction) 및 상전이(phase transitions) 과정에서 안전을 보장하면서 전력 생성을 극대화하는 최적의 비행 경로를 설정하는 것이다. 항공기의 역학은 잘 연구되어 있으나, 테더를 모델링하는 것은 상당한 어려움을 수반한다. 기존의 대부분의 최적화 프레임워크는 테더를 강체 막대로 가정하는데, 이는 고장력 발전 단계에서는 유효하지만, 테더의 처짐(sag)과 탄성 변형이 발생하는 회수 및 전환 단계에서는 부정확한 가정이다. 유연한 테더를 모델링하려는 기존의 시도들은 대개 복잡한 집중 질량(lumped-mass) 또는 유한 요소(finite-element) 접근 방식에 의존하며, 이는 시스템의 차원을 급격히 높이고 계산 비용을 증가시켜 실시간 또는 효율적인 최적 제어에 부적합하게 만든다. 또한, 많은 고충실도 모델은 인덱스-3 미분 대수 방정식(DAE)을 활용하는데, 이는 일관성 조건 문제와 수치적 드리프트(numerical drift)를 유발한다.

방법론
저자들은 준정적(quasi-static) 유연 테더 모델을 계산 효율적인 최적화 문제에 통합하는 최적 제어 프레임워크를 제안한다. 방법론은 다음과 같이 구성된다:

• 모델링: 시스템 모델은 MegAWES 툴박스를 기반으로 구축된다. 특이점(singularities)을 방-지하고 복잡성을 줄이기 위해 회전 행렬 대신 오일러 각을 이용한 최소 좌표 표현을 사용한다. 핵심 혁신은 준정적 유연 테더 모델의 포함이다. 이 모델은 테더를 질량이 없는 탄성 세그먼트로 연결된 $N+1$개의 집중 질량으로 이산화한다. 이 모델은 중력에 의한 처짐과 탄성 변형(Hooke의 법칙을 통해) 및 항력을 고려하되, 계산 가능성을 유지하기 위해 동적 탄성 진동은 무시한다. 모델은 인덱스-1 DAE 시스템으로 정식화되며, 윈치에서의 테더 힘은 입력값이 되고, 항공기의 위치는 기하학적 제약 조건을 만족시키기 위한 재귀적 계산과 근 찾기(root-finding) 문제를 통해 결정된다.
• 최적화 정식화: 문제는 주기적인 연속 시간 최적 제어 문제(OCP)로 정의되며, 한 사이클 동안의 평균 전력 출력을 극대화하는 것을 목표로 한다. 비용 함수에는 음의 전력 출력과 공격적인 기동(각가속도 및 사이드 슬립)에 대한 페널티가 포함된다. 경로 제약 조건에는 테더 힘 제한, 비행 경계 및 항공기와 테더 간의 충돌 방지가 포함된다.
• 해법 전략: 시스템의 비선형성과 과소 구동(under-actuation) 문제를 해결하기 위해, 저자들은 페널티 기반 내부 점 호모토피(Penalty-based Interior-Point Homotopy, PIPH) 접근 방식을 채택한다. 최적화는 다음 세 단계로 수행된다:
  1. 초기화: 항공기에 가공의 힘(fictitious forces)과 토크를 가하여 실행 가능한 초기 궤적을 생성한다.
  2. 전환: 가공의 힘을 점진적으로 제거하고, 실제 공역학을 복원하는 동안 실행 가능성을 유지하기 위해 추진/제동력을 사용한다.
  3. 최적화: 비용 함수의 초점을 전력 생성 극대화로 전환한다.
     문제는 직접 다중 슈팅(direct multiple shooting) 방식으로 전사(transcription)되며, CasADi를 사용하여 IPOPT 솔버로 해결된다.

주요 기여

1. 최적화 내 유연 테더 통합: 저자들은 높은 계산 비용을 초래하는 전체 동적 집중 질량 모델 없이도, 물리적으로 정확한 유연 테더 모델(처짐 및 탄성 고려)을 최적 경로 계획 문제에 통합하였다.
2. 인덱스-1 DAE 정식화: 저자들은 최소 좌표를 사용하는 준 명시적(semi-explicit) 인덱스-1 DAE 정식화를 도입하였다. 이는 고차 인덱스 DAE 모델(예: 인덱스-3)에서 사용되는 인덱스 감소 기법과 관련된 일관성 조건 문제와 수치적 드리프트를 제거한다.
3. 비교 분석: 본 연구는 동일한 최적화 프레임워크 내에서 강체 테더 모델과 유연 테더 모델을 직접 비교함으로써, 제어 입력 및 전력 추정에 미치는 테더 유연성의 영향을 분리하여 보여준다.

결과
시뮬레이션은 로그 윈드 시어 프로파일(15 m/s) 하에서 42.5m 익폭을 가진 메가와트급 AWES를 대상으로 원형 및 레미니스케이트(lemniscate) 비행 경로를 테스트하며 수행되었다.

• 궤적 유사성: 강체 및 유연 테더 모델에 대해 생성된 최적 비행 경로는 시각적으로 유사해 보인다.
• 제어 및 전력 불일치: 궤적의 유사성에도 불구하고, 제어 입력과 수확 전력에서 상당한 차이가 관찰되었다. 강체 테더 모델은 유연 테더 모델에 비해 수확 전력을 지속적으로 과대평가하였다. 테스트된 시나리오에서 강체 모델은 전력을 최대 33%까지 과대평가하였다.
• 회수 단계 역학: 가장 두드한 차이는 회수 단계와 단계 간 전환 중에 발생하였다. 유연 모델은 테더의 처짐을 포착하였으며, 이는 항공기 바디 프레임에 작용하는 테더 힘의 방향을 변화시켰다. 이러한 힘의 방향 변화는 안정성과 효율성을 유지하기 위해 다른 제어 입력을 필요로 했다.
• 계산 비용: 유연 테더(10개 세그먼트)의 포함은 강체 모델에 비해 계산 시간을 증가시켰으며, 특히 더 복잡한 레미니스케이트 궤적에서 그러했다. 그러나 준정적 접근 방식은 계산 시간을 관리 가능한 수준으로 유지하였다.

의의 및 주장
본 논문은 강체 테더 가정이 고장력 단계에서의 대략적인 추정에는 적합할 수 있으나, 회수 및 전환 단계에서는 시스템 성능을 정확하게 예측하는 데 실패한다고 주장한다. 테더의 처짐을 무시함으로써, 강체 모델은 수확 전력을 과대평가하고 잠재적으로 안전하지 않거나 최적화되지 않은 제어 전략을 초래한다. 제안된 인덱스-1 DAE 정식화와 준정적 유연 테더는 균형 잡힌 접근 방식을 제공하며, 강체 모델보다 높은 물리적 충실도를 제공하는 동시에 최적 제어 응용 분야에 충분할 만큼 계산 효율적이다. 이 연구는 대규모 AWES의 정밀한 경로 계획 및 성능 평가를 위해 테더의 유연성을 정확하게 모델링하는 것이 필수적임을 입증한다.