Polylogarithmic motivic Chabauty-Kim for $\mathbb{P}^1 \setminus \{ 0,1,\infty \}$: the geometric step via resultants

Resumen Técnico: Chabauty–Kim Motivico Polilogarítmico para $\mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$: El Paso Geométrico vía Resultantes

1. Planteamiento del Problema
El artículo aborda la determinación explícita del conjunto de puntos $S$-enteros $X(\mathbb{Z}_S)$ en la recta proyectiva con tres puntos excluidos $X = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$, donde $S$ es un conjunto finito de primos. Por el teorema de Siegel, este conjunto es finito y equivalente a las soluciones de la ecuación de unidades $S$, $a + b = 1$ con $a, b \in \mathbb{Z}_S^\times$.

Los autores se centran en el método de Chabauty–Kim polilogarítmico motivico, un refinamiento del programa de Chabauty no abeliano de Kim. Este método construye una secuencia anidada de conjuntos que convergen hacia $X(\mathbb{Z}_S)$:
$$X(\mathbb{Z}_p) \supseteq X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,1} \supseteq X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,2} \supseteq \dots \supseteq X(\mathbb{Z}_S)$$
donde $X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,d}$ es el lugar de anulación de polinomios específicos en polilogaritmos simples $p$-ádicos.

El cálculo de estos conjuntos se divide en dos pasos:

1. Paso Geométrico: Hallar elementos no triviales en el núcleo de un mapa de cociclo específico $\theta^\#$, el cual define "funciones de Chabauty–Kim motivicas". Estas son polinomios en un anillo ponderado que involucra polilogaritmos de de Rham unipotentes ($\log_u, \text{Li}_n$) con coeficientes en el álgebra de shuffle $\mathcal{O}(U_S)$ del grupo fundamental de Tate mixto pro-unipotente.
2. Paso Aritmético: Evaluar estas funciones bajo el mapa de periodo $p$-ádico para obtener funciones $p$-ádicas cuyos conjuntos de ceros aproximan a $X(\mathbb{Z}_S)$.

Mientras que el paso geométrico fue resuelto para $|S|=1$ en profundidad $d \le 4$, se vuelve computacionalmente intratable para $|S| \ge 2$ utilizando métodos previos. Este artículo apunta específicamente al caso $|S|=2$, con el objetivo de construir funciones de Chabauty–Kim motivicas explícitas en profundidades mayores a 4.

2. Metodología
Los autores proponen un nuevo enfoque para el paso geométrico que evita el cálculo directo del núcleo de una matriz masiva sobre un anillo de polinomios, una tarea que demuestran es inviable para $|S|=2$ incluso con supercomputadoras.

• Modelo de Coordenadas: El esquema de Selmer se modela afínamente utilizando coordenadas no canónicas. El mapa $\theta^\#$ se expresa como un homomorfismo de álgebras graduadas:
  $$\theta^\#: \mathcal{O}(U_S)[\log_u, \text{Li}_1, \dots, \text{Li}_d] \to \mathcal{O}(U_S)[\Phi]$$
  El objetivo es encontrar elementos no nulos en el núcleo de este mapa restringido a grados específicos.

• Algoritmo de Cota Superior: Para establecer resultados de no existencia en grados bajos, los autores implementan un algoritmo que evalúa la representación matricial de $\theta^\#_{d,v}$ en puntos enteros aleatorios del anillo de coeficientes. Según la Proposición 5.5, si la dimensión del núcleo es cero para una evaluación genérica, el núcleo sobre el anillo de polinomios es trivial. Esto les permite demostrar la no existencia de tales funciones para grados $v < 18$ cuando $|S|=2$.

• Método de Resultantes: Para la construcción de funciones donde estas existen, los autores introducen un método basado en resultantes.

  1. Analizan las ecuaciones que definen $\theta^\#$ para $|S|=2$ (donde $\Sigma_{-1} = \{\tau_p, \tau_q\}$).
  2. Realizan un proceso de eliminación para expresar las variables $\Phi_{\sigma_{2n-1}}$ y $\Phi_{\tau_{e_1}}$ en términos de $\Phi_{\tau_{e_0}}$ y las imágenes de los polilogaritmos.
  3. Esta reducción produce dos ecuaciones polinómicas, $P_4(X)$ y $P_6(X)$, en una sola variable $X = \Phi_{\tau_p}^{e_0}$, donde $P_k(X) = \theta^\#(\nu_k(X))$.
  4. Dado que estos polinomios comparten una raíz común ($\Phi_{\tau_p}^{e_0}$), su resultante debe anularse: $\text{Res}(P_4, P_6) = 0$.
  5. Debido a que $\theta^\#$ es un homomorfismo, $\text{Res}(\nu_4, \nu_6)$ pertenece al núcleo de $\theta^\#$. Los autores computan explícitamente los polinomios $\nu_4(X)$ y $\nu_6(X)$ y su resultante.

3. Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona la primera construcción explícita de funciones de Chabauty–Kim motivicas para $|S| \ge 2$ en profundidad $d > 4$.

• No Existencia en Grados Bajos: Utilizando su algoritmo de cota superior, los autores demuestran que para $|S|=2$, no existen funciones de Chabauty–Kim motivicas no triviales de grado menor a 18.
• Profundidad y Grado Óptimos: Demuestran que la profundidad más baja en la que existe una función no trivial es la profundidad 6, y el grado mínimo es 18.
• Construcción Explícita: Construyen una función no trivial específica, denotada como $F^{|2|}_{6,18}$, de profundidad 6 y grado 18.
  • Esta función se deriva de la resultante $\text{Res}(\nu_4(X), \nu_6(X))$.
  • Se muestra que la resultante se factoriza como $(\log_u)^6 (\text{Li}_2 - \frac{1}{2}\log_u \text{Li}_1) F^{|2|}_{6,18}$.
  • El factor $(\text{Li}_2 - \frac{1}{2}\log_u \text{Li}_1)$ corresponde a la solución conocida para $|S|=1$, mientras que $F^{|2|}_{6,18}$ es el nuevo componente no trivial específico para $|S|=2$.
• Unicidad: Demuestran que cualquier otra función de Chabauty–Kim motivica de profundidad $<19$ y grado 18 es un múltiplo de $F^{|2|}_{6,18}$ por un elemento de $\mathcal{O}(U_S)$.
• Existencia Sorprendente: Los autores destacan que la existencia de $F^{|2|}_{6,18}$ no está garantizada por un simple conteo de dimensiones (la dimensión del dominio 996 es menor que la del codominio 4183 en esta profundidad/grado), lo que sugiere nuevos fenómenos en la teoría no visibles en el caso $|S|=1$.

4. Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma ser el primer trabajo en abordar explícitamente Chabauty–Kim en profundidad $>4$ para $|S| \ge 2$.

• Avance Algorítmico: Transforma el paso geométrico de un problema de álgebra lineal de fuerza bruta (inviable para $|S| \ge 2$) en un problema manejable de teoría de eliminación mediante resultantes.
• Perspectiva Teórica: La construcción revela que los coeficientes de estas funciones, aunque se garantiza que residen en el subálgebra de Goncharov, pueden requerir términos individuales que no están en dicha subálgebra, ofreciendo pistas sobre la estructura del paso aritmético.
• Generalización: Los autores esbozan una estrategia para extender el método de la resultante a $|S| > 2$ mediante la toma iterativa de resultantes para eliminar variables, aunque señalan que verificar la no trivialidad se vuelve significativamente más difícil en el caso general.

Este trabajo sirve como prueba de concepto de que el paso geométrico puede hacerse efectivo para conjuntos $S$ más grandes y profundidades mayores, proporcionando las herramientas necesarias para potencialmente verificar la conjetura de Chabauty–Kim para la ecuación de unidades $S$ en regímenes previamente inaccesibles.