Polylogarithmic motivic Chabauty-Kim for $\mathbb{P}^1 \setminus \{ 0,1,\infty \}$: the geometric step via resultants

Résumé technique : Chabauty–Kim polylogarithmique motivique pour $\mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$ : l'étape géométrique via les résultants

1. Énoncé du problème
L'article traite de la détermination explicite de l'ensemble des points $S$-entiers $X(\mathbb{Z}_S)$ sur la droite projective trois fois ponctuée $X = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$, où $S$ est un ensemble fini de nombres premiers. D'après le théorème de Siegel, cet ensemble est fini et équivalent aux solutions de l'équation des unités $S$, $a + b = 1$ avec $a, b \in \mathbb{Z}_S^\times$.

Les auteurs se concentrent sur la méthode de Chabauty–Kim polylogarithmique motivique, un raffinement du programme de Chabauty–Kim non abélien. Cette méthode construit une suite imbriquée d'ensembles convergeant vers $X(\mathbb{Z}_S)$ :
$$X(\mathbb{Z}_p) \supseteq X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,1} \supseteq X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,2} \supseteq \dots \supseteq X(\mathbb{Z}_S)$$
où $X(\mathbb{Z}_p)^{PL}_{S,d}$ est le lieu de disparition de polynômes spécifiques en polylogarithmes $p$-adiques simples.

Le calcul de ces ensembles est divisé en deux étapes :

1. Étape géométrique : Trouver des éléments non triviaux dans le noyau d'une application de cocycle spécifique $\theta^\#$, qui définit des « fonctions de Chabauty–Kim motiviques ». Ce sont des polynômes dans un anneau pondéré impliquant des polylogarithmes de de Rham unipotents ($\log_u, \text{Li}_n$) avec des coefficients dans l'algèbre de shuffle $\mathcal{O}(U_S)$ du groupe fondamental de Tate mixte pro-unipotent.
2. Étape arithmétique : Évaluer ces fonctions sous l'application de période $p$-adique pour obtenir des fonctions $p$-adiques dont les zéros approchent $X(\mathbb{Z}_S)$.

Alors que l'étape géométrique a été résolue pour $|S|=1$ pour une profondeur $d \le 4$, elle devient informatiquement intractables pour $|S| \ge 2$ en utilisant les méthodes précédentes. L'article cible spécifiquement le cas $|S|=2$, visant à construire des fonctions de Chabauty–Kim motiviques explicites pour des profondeurs supérieures à 4.

2. Méthodologie
Les auteurs proposent une nouvelle approche de l'étape géométrique qui évite le calcul direct du noyau d'une matrice massive sur un anneau de polynômes, une tâche qu'ils démontrent être infaisable pour $|S|=2$, même avec des supercalculateurs.

• Modèle de coordonnées : Le schéma de Selmer est modélisé de manière affine en utilisant des coordonnées non canoniques. L'application $\theta^\#$ est exprimée comme un homomorphisme d'algèbres graduées :
  $$\theta^\#: \mathcal{O}(U_S)[\log_u, \text{Li}_1, \dots, \text{Li}_d] \to \mathcal{O}(U_S)[\Phi]$$
  Le but est de trouver des éléments non nuls dans le noyau de cette application restreinte à des degrés spécifiques.

• Algorithme de borne supérieure : Pour établir des résultats de non-existence pour de faibles degrés, les auteurs implémentent un algorithme qui évalue la représentation matricielle de $\theta^\#_{d,v}$ en des points entiers aléatoires de l'anneau de coefficients. Selon la Proposition 5.5, si la dimension du noyau est nulle pour une évaluation générique, le noyau sur l'anneau de polynômes est trivial. Cela leur permet de prouver la non-existence de telles fonctions pour les degrés $v < 18$ lorsque $|S|=2$.

• Méthode des résultants : Pour la construction de fonctions là où elles existent, les auteurs introduisent une méthode basée sur les résultants.

  1. Ils analysent les équations définissant $\theta^\#$ pour $|S|=2$ (où $\Sigma_{-1} = \{\tau_p, \tau_q\}$).
  2. Ils effectuent un processus d'élimination pour exprimer les variables $\Phi_{\sigma_{2n-1}}$ et $\Phi_{\tau_{e_1}}$ en fonction de $\Phi_{\tau_{e_0}}$ et des images des polylogarithmes.
  3. Cette réduction produit deux équations polynomiales, $P_4(X)$ et $P_6(X)$, en une seule variable $X = \Phi_{\tau_p}^{e_0}$, où $P_k(X) = \theta^\#(\nu_k(X))$.
  4. Puisque ces polynômes partagent une racine commune ($\Phi_{\tau_p}^{e_0}$), leur résultant doit s'annuler : $\text{Res}(P_4, P_6) = 0$.
  5. Comme $\theta^\#$ est un homomorphisme, $\text{Res}(\nu_4, \nu_6)$ appartient au noyau de $\theta^\#$. Les auteurs calculent explicitement les polynômes $\nu_4(X)$ et $\nu_6(X)$ ainsi que leur résultant.

3. Contributions clés et résultats
L'article fournit la première construction explicite de fonctions de Chabauty–Kim motiviques pour $|S| \ge 2$ à une profondeur $d > 4$.

• Non-existence dans les faibles degrés : En utilisant leur algorithme de borne supérieure, les auteurs prouvent que pour $|S|=2$, il n'existe pas de fonctions de Chabauty–Kim motiviques non triviales de degré inférieur à 18.
• Profondeur et degré optimaux : Ils prouvent que la plus faible profondeur à laquelle une fonction non triviale existe est la profondeur 6, et le degré minimal est 18.
• Construction explicite : Ils construisent une fonction non triviale spécifique, notée $F^{|2|}_{6,18}$, de profondeur 6 et de degré 18.
  • Cette fonction est dérivée du résultant $\text{Res}(\nu_4(X), \nu_6(X))$.
  • Le résultant est montré comme se factorisant en $(\log_u)^6 (\text{Li}_2 - \frac{1}{2}\log_u \text{Li}_1) F^{|2|}_{6,18}$.
  • Le facteur $(\text{Li}_2 - \frac{1}{2}\log_u \text{Li}_1)$ correspond à la solution connue pour $|S|=1$, tandis que $F^{|2|}_{6,18}$ est la nouvelle composante non triviale spécifique à $|S|=2$.
• Unicité : Ils prouvent que toute autre fonction de Chabauty–Kim motivique de profondeur $<19$ et de degré 18 est un multiple de $F^{|2|}_{6,18}$ par un élément de $\mathcal{O}(U_S)$.
• Existence surprenante : Les auteurs soulignent que l'existence de $F^{|2|}_{6,18}$ n'est pas garantie par un simple comptage de dimensions (la dimension du domaine 996 est plus petite que la dimension du codomaine 4183 à cette profondeur/degré), suggérant de nouveaux phénomènes dans la théorie non visibles dans le cas $|S|=1$.

4. Signification et affirmations
L'article affirme être le premier travail traitant explicitement le cas de Chabauty–Kim pour $|S| \ge 2$ à une profondeur $d > 4$.

• Avancée algorithmique : Il transforme l'étape géométrique d'un problème d'algèbre linéaire par force brute (infaisable pour $|S| \ge 2$) en un problème de théorie d'élimination gérable via les résultants.
• Aperçu théorique : La construction révèle que les coefficients de ces fonctions, bien que garantis d'appartenir à la sous-algèbre de Goncharov, peuvent nécessiter des termes individuels qui ne sont pas dans cette sous-algèbre, offrant des indices sur la structure de l'étape arithmétique.
• Généralisation : Les auteurs décrivent une stratégie pour étendre la méthode des résultants à $|S| > 2$ en prenant itérativement des résultants pour éliminer les variables, tout en notant que la vérification de la non-trivialité devient nettement plus difficile dans le cas général.

Ce travail sert de preuve de concept montrant que l'étape géométrique peut être rendue effective pour des ensembles $S$ plus grands et des profondeurs plus élevées, fournissant les outils nécessaires pour potentiellement vérifier la conjecture de Chabauty–Kim pour l'équation des unités $S$ dans des régimes jusqu'alors inaccessibles.