Holonomic étale sheaves are constructible

Resumen Técnico: Los haces étale holonómicos son constructibles

Planteamiento del problema
El artículo aborda la relación entre las nociones de "constructibilidad" y "holonomicidad" para haces étale en variedades algebraicas. En el contexto de los $\mathcal{D}_X$-módulos sobre variedades complejas, el teorema de Kashiwara establece que los módulos holonómicos son constructibles. En el entorno algebraico, Beilinson demostró previamente que todo haz étale constructible posee un soporte singular con componentes irreducibles de dimensión igual a la dimensión del esquema subycente, lo que caracteriza efectivamente a los haces constructibles como "holonómicos" (aunque no definió explícitamente la holonomicidad para haces no constructibles).

El problema central abordado aquí es el inverso: ¿Se puede definir una noción de holonomicidad para haces étale sin asumir a priori la constructibilidad, y esta definición implica la constructibilidad? Los autores pretenden establecer que los haces étale holonómicos son, de hecho, constructibles, proporcionando un análogo étale del teorema de Kashiwara.

Metodología
Los autores desarrollan un marco para el "soporte micro" (soporte singular) para haces étale arbitrarios, extendiendo la construcción de Beilinson que originalmente asumía la constructibilidad. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Fundamentos Geométricos (Secciones 1–3): El artículo establece el lenguaje geométrico necesario respecto a los subconjuntos cónicos cerrados en el fibrado cotangente $T^*X$. Define y analiza dos propiedades clave de los morfismos relativos a un subconjunto cónico $C$:

   • $C$-transversalidad: Una condición sobre un morfismo $h: W \to X$ respecto a la intersección de la tracción de $C$ con el núcleo del mapa cotangente.
   • $C$-acíclicidad: Una condición sobre un par de morfismos $(h, f)$ que involucra la aciclicidad de $f$ relativo a la tracción de $C$.
     Estos conceptos se adaptan del trabajo de Beilinson pero se definen rigurosamente sin asumir que los haces involucrados sean constructibles.

2. Definición de Soporte Micro (Sección 4): Los autores definen un haz $F$ como micro soportado en un subconjunto cónico cerrado $C \subset T^*X$ si, para cada par de morfismos $C$-acíclicos $(h, f)$, el morfismo $f$ es localmente acíclico relativo a $h^*F$. Esta definición generaliza la noción de soporte micro a haces no constructibles. Los lemas clave establecen el comportamiento del soporte micro bajo operaciones como tracciones, tracciones directas y triángulos distinguidos.

3. Existencia de Soporte Singular (Sección 5): Los autores prueban que para cualquier haz $F$ sobre un esquema suave $X$, existe un único subconjunto cónico mínimo $SSF$ (el soporte singular) tal que $F$ está micro soportado en él.

   • La prueba se basa en reducir el problema al caso donde $X$ es un espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$.
   • Se emplean la Transformada de Radon y la Transformada de Legendre para analizar el soporte micro en espacios proyectivos. Específicamente, los autores utilizan la geometría de la variedad de incidencia $Q \subset \mathbb{P} \times \mathbb{P}^\vee$ y las propiedades de la transformada de Radon $R$ y su inversa $R^\vee$ para relacionar el soporte micro de un haz con el de su transformada.
   • Esta sección demuestra que el soporte singular existe incluso sin la suposición de constructibilidad, un punto planteado por Tong Zhou.

4. Holonomicidad y Constructibilidad (Sección 6):

   • Definición: Un haz $F$ se define como holonómico si (1) su soporte singular $SSF$ satisface $\dim SSF \leq \dim X$, y (2) la fibra (stalk) $F_x$ es constructible para cada punto geométrico $x$.
   • Teorema Principal: Los autores prueban que si $F$ es holonómico, entonces $F$ es constructible.
   • Estrategia de la Prueba: La prueba procede por inducción sobre $\dim X$. Utiliza el hecho de que en un subconjunto abierto denso, un haz holonómico es localmente constante (micro soportado en la sección cero). Al analizar el triángulo distinguido asociado al complemento de este abierto abierto y utilizando la hipótesis inductiva, los autores muestran que el haz debe ser constructible en todas partes. El argumento se establece primero para cuerpos perfectos y luego se extiende a cuerpos generales mediante el cambio de base al cierre perfecto.

Contribuciones Clave y Resultados

• Definición de Holonomicidad: El artículo introduce una definición rigurosa de holonomicidad para haces étale que no presupone la constructibilidad.
• Existencia de Soporte Singular: Establece la existencia del soporte singular $SSF$ para haces arbitrarios (no solo constructibles), resolviendo una cuestión sobre la necesidad de la suposición de constructibilidad para la existencia de $SSF$.
• Teorema Principal (Teorema 6.3): El resultado central es el recíproco del teorema de Beilinson: Los haces étale holonómicos son constructibles.
  • Específicamente, si $\dim SSF \leq \dim X$ y todas las fibras son constructibles, el haz mismo es constructible.
• Extensión a Esquemas Singulares: La noción de holonomicidad se extiende a haces sobre esquemas singulares mediante inmersiones cerradas en esquemas suaves, probando que esta definición es independiente de la inmersión.
• Estabilidad: El artículo confirma que la categoría de haces holonómicos es estable bajo operaciones estándar (imágenes directas e inversas, imágenes directas con soporte compacto) para morfismos de tipo finito.

Significado
El artículo afirma su importancia como un análogo étale del teorema de Kashiwara sobre $\mathcal{D}_X$-módulos holonómicos. Así como el teorema de Kashiwara afirma que los $\mathcal{D}$-módulos holonómicos tienen cohomología constructible (un ingrediente clave en la correspondencia de Riemann-Hilbert), este trabajo afirma que los haces étale holonómicos son constructibles.

Los autores señalan que este resultado proporciona un sustituto robusto para la "noción deficiente de constructibilidad" en contextos como las variedades rígidas, donde se espera que sea definible una noción similar de holonomicidad. El trabajo se construye directamente sobre el artículo fundacional de Beilinson [3], refinando las definiciones para eliminar la suposición a priori de constructibilidad y probando que la condición geométrica de tener un soporte singular "pequeño" (dimensión $\leq \dim X$) combinada con la constructibilidad puntual es suficiente para garantizar la constructibilidad global.