Holonomic étale sheaves are constructible

Résumé technique : Les faisceaux étales holonomes sont constructibles

Énoncé du problème
L'article traite de la relation entre les notions de « constructibilité » et d'« holonomie » pour les faisceaux étales sur des variétés algébriques. Dans le contexte des $\mathcal{D}_X$-modules sur les variétés complexes, le théorème de Kashiwara établit que les modules holonomes sont constructibles. Dans le cadre algébrique, Beilinson a précédemment prouvé que tout faisceau étale constructible possède un support singulier dont les composantes irréductibles ont une dimension égale à la dimension du schéma sous-jacent, caractérisant ainsi efficacement les faisceaux constructibles comme étant « holonomes » (bien qu'il n'ait pas explicitement défini l'holonomie pour les faisceaux non-constructibles).

Le problème central abordé ici est la réciproque : peut-on définir une notion d'holonomie pour les faisceaux étales sans supposer a priori la constructibilité, et cette définition implique-t-elle la constructibilité ? Les auteurs visent à établir que les faisceaux étales holonomes sont effectivement constructibles, fournissant ainsi un analogue étale du théorème de Kashiware.

Méthodologie
Les auteurs développent un cadre pour le « micro-support » (support singulier) pour des faisceaux étales arbitraires, étendant la construction de Beilinson qui supposait initialement la constructibilité. La méthodologie procède par les étapes suivantes :

1. Fondements géométriques (Sections 1–3) : L'article établit le langage géométrique nécessaire concernant les sous-ensembles coniques fermés du fibré cotangent $T^*X$. Il définit et analyse deux propriétés clés de morphismes par rapport à un sous-ensemble conique $C$ :

   • $C$-transversalité : Une condition sur un morphisme $h: W \to X$ concernant l'intersection du tiré en arrière de $C$ avec le noyau de la application cotangente.
   • $C$-acyclicité : Une condition sur une paire de morphismes $(h, f)$ impliquant l'acyclicité de $f$ par rapport au poussé en avant de $C$.
     Ces concepts sont adaptés des travaux de Beilinson mais sont rigoureusement définis sans supposer que les faisceaux impliqués soient constructibles.

2. Définition du micro-support (Section 4) : Les auteurs définissent un faisceau $F$ comme étant micro-supporté sur un sous-ensemble conique fermé $C \subset T^*X$ si, pour tout couple de morphismes $(h, f)$ $C$-acyclique, le morphisme $f$ est localement acyclique par rapport au tiré en arrière $h^*F$. Cette définition généralise la notion de micro-support aux faisceaux non-constructibles. Des lemmes clés établissent le comportement du micro-support sous les opérations telles que les tirés en arrière, les poussés en avant et les triangles distingués.

3. Existence du support singulier (Section 5) : Les auteurs prouvent que pour tout faisceau $F$ sur un schéma lisse $X$, il existe un sous-ensemble conique fermé unique $SSF$ (le support singulier) tel que $F$ est micro-supporté sur celui-ci.

   • La preuve repose sur la réduction du problème au cas où $X$ est l'espace projectif $\mathbb{P}^n$.
   • La transformée de Radon et la transformée de Legendre sont employées pour analyser le micro-support sur les espaces projectifs. Plus précisément, les auteurs utilisent la géométrie de la variété d'incidence $Q \subset \mathbb{P} \times \mathbb{P}^\vee$ et les propriétés de la transformée de Radon $R$ et de son inverse $R^\vee$ pour relier le micro-support d'un faisceau à celui de sa transformée.
   • Cette section démontre que le support singulier existe même sans l'hypothèse de constructibilité, un point soulevé par Tong Zhou.

4. Holonomie et constructibilité (Section 6) :

   • Définition : Un faisceau $F$ est défini comme holonome si (1) son support singulier $SSF$ satisfait $\dim SSF \leq \dim X$, et (2) le germe $F_x$ est constructible pour tout point géométrique $x$.
   • Théorème principal : Les auteurs prouvent que si $F$ est holonome, alors $F$ est constructible.
   • Stratégie de preuve : La preuve procède par récurrence sur $\dim X$. Elle utilise le fait que sur un ouvert dense, un faisceau holonome est localement constant (micro-supporté sur la section nulle). En analysant le triangle distingué associé au complémentaire de cet ouvert et en utilisant l'hypothèse de récurrence, les auteurs montrent que le faisceau doit être constructible partout. L'argument est d'abord établi pour les corps parfaits, puis étendu aux corps généraux via le changement de base vers l'adhérence parfaite.

Contributions et résultats clés

• Définition de l'holonomie : L'article introduit une définition rigoureuse de l'holonomie pour les faisceaux étales qui ne présuppose pas la constructibilité.
• Existence du support singulier : Il établit l'existence du support singulier $SSF$ pour des faisceaux arbitraires (pas seulement constructibles), résolvant une question concernant la nécessité de l'hypothèse de constructibilité pour l'existence de $SSF$.
• Théorème principal (Théorème 6.3) : Le résultat central est la réciproque du théorème de Beilinson : les faisceaux étales holonomes sont constructibles.
  • Plus précisément, si $\dim SSF \leq \dim X$ et que tous les germes sont constructibles, alors le faisceau lui-même est constructible.
• Extension aux schémas singuliers : La notion d'holonomie est étendue aux faisceaux sur les schémas singuliers via des immersions fermées dans des schémas lisses, prouvant que cette définition est indépendante de l'immersion.
• Stabilité : L'article confirme que la catégorie des faisceaux holonomes est stable sous les opérations standards (images directes et inverses, images directes propres à support compact) pour les morphismes de type fini.

Signification
L'article revendique sa signification comme un analogue étale du théorème de Kashiwara sur les $\mathcal{D}_X$-modules holonomes. Tout comme le théorème de Kashiwara affirme que les $\mathcal{D}$-modules holonomes ont une cohomologie constructible (un ingrédient clé de la correspondance de Riemann-Hilbert), ce travail affirme que les faisceaux étales holonomes sont constructibles.

Les auteurs notent que ce résultat fournit un substitut robuste à la « notion déficiente de constructibilité » dans des contextes tels que les variétés rigides, où une notion similaire d'holonomie est censée être définissable. Le travail s'appuie directement sur l'article fondateur de Beilinson [3], en affinant les définitions pour supprimer l'hypothèse a priori de constructibilité et en prouvant que la condition géométrique d'avoir un support singulier « petit » (dimension $\leq \dim X$) combinée à la constructibilité ponctuelle est suffisante pour garantir la constructibilité globale.