Extendability of foliations

Resumen Técnico: Extendibilidad de Foliaciones

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el problema de la extensión de foliaciones holomorfas singulares. Dada una variedad suave $X$ embebida en una variedad más grande $Y$ (específicamente un embebimiento regular de codimensión 1), y una foliación $\mathcal{F}$ sobre $X$, la cuestión central es si existe una foliación sobre $Y$ que se restringe a $\mathcal{F}$ sobre $X$. Los autores investigan esto tanto en el entorno analítico como en el algebraico, considerando $Y$ como un espacio ambiente general o específicamente como el espacio total de un despliegue (unfolding) de $X$ (la teoría de los despliegues).

Metodología
Los autores emplean un enfoque de geometría formal, analizando el problema de la extensión al nivel de los vecindarios infinitesimales $X^{(n)}$ de $X$ en $Y$. La estrategia procede en dos etapas principales:

1. Análisis Infinitesimal: Los autores construyen la teoría de obstrucciones para extender una foliación de $X^{(n-1)}$ a $X^{(n)}$. Utilizan el haz de partes principales a lo largo de la distribución, denotado como $P_{\mathcal{F}, L}$, para describir el espacio de las posibles extensiones.

   • Establecen que el conjunto de extensiones de una distribución es actuado de forma transitiva por $H^0(X, P_{\mathcal{F}, N_{X/Y}^{\otimes -n}})$.
   • Identifican el subespacio de extensiones integrables mediante una condición de núcleo que involucra el diferencial de la 1-forma definidora, conduciendo al haz $P^{\text{int}}_{\mathcal{F}, N_{X/Y}^{\otimes -n}}$.
   • Crucialmente, relacionan las obstrucciones para extender foliaciones integrables con el grupo de cohomología $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -n})$, donde $\mathcal{I}_{\text{Per}}$ es el haz ideal de las singularidades persistentes (singularidades que no pueden ser suavizadas a lo largo de un despliegue).

2. Algebraización: Una vez establecidas las extensiones formales (es decir, extensiones al vecindario formal $\hat{X}_{/Y}$), los autores aplican la condición de Lefschetz efectiva, $\text{Leff}(X, Y)$. Esta condición asegura que los fibrados vectoriales y las secciones formales puedan algebraizarse a objetos algebraicos (o analíticos) reales en un vecindario de $X$ en $Y$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia de Extensiones (Teorema 1.1 y Corolarios 1.2, 1.3):
  El artículo demuestra que si $X \subseteq Y$ es un embebimiento regular de codimensión 1, $\mathcal{F}$ tiene singularidades no obstruidas, y el grupo de cohomología $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -n})$ se anula para todo $n \geq 1$, entonces $\mathcal{F}$ admite una extensión formal. Si la condición de Lefschetz efectiva $\text{Leff}(X, Y)$ se cumple (lo cual es cierto si $X$ es un divisor ámplio en una variedad proyectiva suave $Y$), esta extensión formal se algebraiza a una foliación global en $Y$.

  • Este resultado se aplica para mostrar que las foliaciones en divisores ámplios se extienden bajo condiciones específicas de anulación de cohomología.
  • También se aplica a los despliegues: si $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}}) = 0$, cualquier foliación con singularidades no obstruidas se despliega a lo largo de cualquier deformación de $X$.

• Criterios de Positividad (Teorema 1.4):
  Los autores proporcionan un criterio basado en la positividad del embebimiento frente al fibrado normal de la foliación. Si $X$ es un divisor ámpio en $Y$, $\dim(X) \geq 3$, y el fibrado $N_{\mathcal{F}}^{\otimes 2} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -1}$ es anti-ámpio, entonces cualquier foliación con singularidades no obstruidas se extiende de forma única a $Y$. Esto recupera y generaliza resultados previos (por ejemplo, de [Fig23]) respecto a las foliaciones en hipersuperficies en el espacio proyectivo.

• Unicidad y el Problema de Zak-L'vovsky Foliado (Sección 5):
  El artículo investiga la unicidad de las extensiones. Introduce un análogo foliado del problema de Zak-L'vovsky (que pregunta si las extensiones de subvariedades son conos).

  • Los autores definen foliaciones Camacho-Lins Neto regulares, caracterizadas por la anulación de los espacios de extensión $\text{Ex}_n(\mathcal{F}, N_{X/Y})$.
  • Demuestran que si estos espacios de extensión se anulan, la extensión de la foliación es única.
  • Se establece una dicotomía: si $X$ es un divisor ámpio y la extensión es única, entonces o bien la extensión es única, o bien $X$ es un hiperplano y la extensión es un cono.

• Vecindarios Tubulares y Rigidez (Teorema 1.5 y 1.6):
  El artículo vincula la existencia de vecindarios tubulares con la extendibilidad de las foliaciones.

  • Teorema 1.5: Si $X$ tiene una foliación con singularidades rígidas (singularidades donde el espacio de despliegue de primer orden es trivial) que se extiende a $Y$, y ciertos grupos de cohomología se anulan, entonces $X$ admite un vecindario tubular. Si $Y$ es proyectiva y $X$ es ámpio, esto conduce a la dicotomía mencionada anteriormente.
  • Teorema 1.6 (Generalización de Gómez-Mont): Los autores demuestran que si una foliación $\mathcal{F}$ en una variedad suave propia $X$ tiene singularidades rígidas y $H^1(X, T_{\mathcal{F}}) = 0$, entonces cada despliegue de $\mathcal{F}$ es analíticamente trivial. Esto generaliza resultados previos para superficies y clases específicas de foliaciones en $\mathbb{P}^m$.

Significancia y Alcance
El artículo afirma proporcionar un marco unificado para comprender la extensión de foliaciones combinando la teoría de deformaciones formales con condiciones de positividad global. Su significancia radica en:

1. Generalización de la Teoría de Despliegues: Extiende la teoría de los despliegues (estudiada previamente por Suwa, Gómez-Mont y otros) a despliegues y espacios ambientes arbitrarios, no solo a casos específicos.
2. Conexión de Singularidades con la Geometría Global: Vincula explícitamente la naturaleza local de las singularidades (persistentes vs. rígidas) con las obstrucciones globales a través del haz $\mathcal{I}_{\text{Per}}$.
3. Resultados de Unicidad: Ofrece nuevas condiciones suficientes para la unicidad de las extensiones de foliaciones, contribuyendo a la teoría de los módulos de las foliaciones.

Los autores mantienen un tono modesto, señalando que sus resultados dependen de condiciones específicas de anulación de cohomología y de la condición de Lefschetz efectiva. No pretenden resolver el problema de la extensión para todas las foliaciones, sino que proporcionan respuestas afirmativas para una amplia clase de singularidades "no obstruidas" y "rígidas" bajo condiciones de embebimiento positivo. El trabajo se presenta como una contribución para una mejor comprensión de la teoría de los módulos de las foliaciones y la geometría de las restricciones/extensiones.