Extendability of foliations

Résumé technique : Extensibilité des foliations

Énoncé du problème
Cet article traite du problème d'extension pour les foliations holomorphes singulières. Étant donné une variété lisse $X$ plongée dans une variété plus grande $Y$ (spécifiquement un plongement régulier de codimension 1), et une foliation $\mathcal{F}$ sur $X$, la question centrale est de savoir s'il existe une foliation sur $Y$ qui se restreint à $\mathcal{F}$ sur $X$. Les auteurs étudient cela dans les cadres analytique et algébrique, en considérant $Y$ comme un espace ambiant général ou spécifiquement comme l'espace total d'un déploiement (un unfolding) de $X$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche de géométrie formelle, en analysant le problème d'extension au niveau des voisinages infinitésimaux $X^{(n)}$ de $X$ dans $Y$. La stratégie procède en deux étapes principales :

1. Analyse infinitésimale : Les auteurs construisent la théorie des obstructions pour l'extension d'une foliation de $X^{(n-1)}$ vers $X^{(n)}$. Ils utilisent le faisceau des parties principales le long de la distribution, noté $P_{\mathcal{F}, L}$, pour décrire l'espace des extensions possibles.

   • Ils établissent que l'ensemble des extensions d'une distribution est agi de manière transitive par $H^0(X, P_{\mathcal{F}, N_{X/Y}^{\otimes -n}})$.
   • Ils identifient le sous-espace des extensions intégrables via une condition de noyau impliquant la différentielle de la 1-forme définissante, menant au faisceau $P^{\text{int}}_{\mathcal{F}, N_{X/Y}^{\otimes -n}}$.
   • Crucialement, ils relient les obstructions à l'extension de foliations intégrables au groupe de cohomologie $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -n})$, où $\mathcal{I}_{\text{Per}}$ est le faisceau idéal des singularités persistantes (singularités qui ne peuvent pas être lissées le long d'un déploiement).

2. Algébrisation : Une fois les extensions formelles établies (c'est-à-dire les extensions vers le voisinage formel $\hat{X}_{/Y}$), les auteurs appliquent la condition de Lefschetz effective, $\text{Leff}(X, Y)$. Cette condition garantit que les fibrés vectoriels et les sections formelles peuvent être algébrisés en objets algébriques (ou analytiques) réels sur un voisinage de $X$ dans $Y$.

Contributions clés et résultats

• Existence d'extensions (Théorème 1.1 & Corollaires 1.2, 1.3) :
  L'article prouve que si $X \subseteq Y$ est un plongement régulier de codimension 1, que $\mathcal{F}$ possède des singularités non obstruées, et que le groupe de cohomologie $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -n})$ est nul pour tout $n \geq 1$, alors $\mathcal{F}$ admet une extension formelle. Si la condition de Lefschetz effective $\text{Leff}(X, Y)$ est satisfaite (ce qui est vrai si $X$ est un diviseur ample dans une variété projective lisse $Y$), cette extension formelle s'algébrise en une foliation globale sur $Y$.

  • Ce résultat est appliqué pour montrer que les foliations sur les diviseurs amples s'étendent sous certaines conditions d'annulation de cohomologie.
  • Il est également appliqué aux déploiements (unfoldings) : si $H^1(X, \mathcal{I}_{\text{Per}} \otimes N_{\mathcal{F}}) = 0$, toute foliation avec des singularités non obstruées se déploie le long de n'importe quel déploiement de $X$.

• Critères de positivité (Théorème 1.4) :
  Les auteurs fournissent un critère basé sur la positivité du plongement par rapport au fibré normal de la foliation. Si $X$ est un diviseur ample dans $Y$, $\dim(X) \geq 3$, et que le fibré $N_{\mathcal{F}}^{\otimes 2} \otimes N_{X/Y}^{\otimes -1}$ est anti-ample, alors toute foliation avec des singularités non obstruées s'étend de manière unique à $Y$. Cela récupère et généralise les résultats précédents (par exemple, de [Fig23]) concernant les foliations sur les hypersurfaces dans l'espace projectif.

• Unicité et le problème de Zak-L'vovsky folié (Section 5) :
  L'article étudie l'unicité des extensions. Il introduit un analogue folié du problème de Zak-L'vovsky (qui demande si les extensions de sous-variétés sont des cônes).

  • Les auteurs définissent les foliations Camacho-Lins Neto régulières, caractérisées par l'annulation des espaces d'extension $\text{Ex}_n(\mathcal{F}, N_{X/Y})$.
  • Ils prouvent que si ces espaces d'extension sont nuls, l'extension de la foliation est unique.
  • Une dichotomie est établie : si $X$ est un diviseur ample et que l'extension est unique, alors soit l'extension est unique, soit $X$ est un hyperplan et l'extension est un cône.

• Voisinages tubulaires et rigidité (Théorème 1.5 & 1.6) :
  Le papier lie l'existence de voisinages tubulaires à l'extensibilité des foliations.

  • Théorème 1.5 : Si $X$ possède une foliation avec des singularités rigides (singularités où l'espace de déploiement du premier ordre est trivial) qui s'étend à $Y$, et que certains groupes de cohomologie sont nuls, alors $X$ admet un voisinage tubulaire. Si $Y$ est projective et $X$ est ample, cela conduit à la dichotomie mentionnée ci-dessus.
  • Théorème 1.6 (Généralisation de Gómez-Mont) : Les auteurs prouvent que si une foliation $\mathcal{F}$ sur une variété lisse propre $X$ possède des singularités rigides et que $H^1(X, T_{\mathcal{F}}) = 0$, alors tout déploiement de $\mathcal{F}$ est analytiquement trivial. Cela généralise les résultats antérieurs pour les surfaces et certaines classes spécifiques de foliations sur $\mathbb{P}^m$.

Signification et portée
L'article affirme fournir un cadre unifié pour comprendre l'extension des foliations en combinant la théorie des déformations formelles avec des conditions de positivité globale. Sa signification réside dans :

1. Généralisation de la théorie des déploiements : Il étend la théorie des déploiements (précédemment étudiée par Suwa, Gómez-Mont et d'autres) à des déformations et des espaces ambiants arbitraires, et non plus seulement à des cas spécifiques.
2. Connexion entre singularités et géométrie globale : Il lie explicitement la nature locale des singularités (persistantes vs rigides) aux obstructions globales via le faisceau $\mathcal{I}_{\text{Per}}$.
3. Résultats d'unicité : Il offre de nouvelles conditions suffisantes pour l'unicité des extensions de foliations, contribissant ainsi à la théorie des modules des foliations.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, notant que leurs résultats dépendent de conditions spécifiques d'annulation de cohomologie et de la condition de Lefschetz effective. Ils ne prétendent pas résoudre le problème d'extension pour toutes les foliations, mais proposent plutôt des réponses affirmatives pour une large classe de singularités "non obstruées" et "rigides" sous des conditions de plongement positives. Le travail est présenté comme une contribution à une meilleure compréhension de la théorie des modules des foliations et de la géométrie des restrictions/extensions.