Points below a parabola in affine planes of prime order

Resumen Técnico: Puntos por debajo de una parábola en planos afines de orden primo

Planteamiento del problema
Este artículo investiga las propiedades geométricas y combinatorias del conjunto de puntos que se encuentran por debajo de una parábola en el plano afín desarguesiano $AG(2, p)$, donde $p$ es un número primo. Específicamente, los autores analizan el conjunto $S = \{(x, y) \in \mathbb{F}_p^2 \mid y < f(x)\}$, donde $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ es un polinomio cuadrático con $\alpha \neq 0$.

El estudio está motivado por el trabajo reciente de Kiss y Somlai [KS24], quienes examinaron el conjunto de puntos por debajo de la recta diagonal ($y < x$) en $AG(2, p)$. Ellos demostraron que este conjunto determina exactamente tres direcciones "especiales" (direcciones donde las rectas no intersectan al conjunto de manera equidistribuida) y que este conjunto posee un único automorfismo no trivial. Los autores de este artículo buscan determinar si fenómenos similares ocurren para conjuntos parabólicos, a pesar de que las parábolas generalmente poseen menos simetría que las rectas.

Metodología
Los autores emplean una combinación de geometría finita, teoría de números y análisis combinatorio:

1. Ordenamiento y Proyección: Utilizando la correspondencia canónica entre los elementos de $\mathbb{F}_p$ y los enteros en $[0, p-1]$, los autores definen un orden sobre el cuerpo. Introducen la función de proyección $pr_{S,d}$, que mapea una dirección $d$ al número de puntos en $S$ intersectados por las rectas de pendiente $d$.
2. Análisis del Carácter Cuadrático: El núcleo del análisis reside en el carácter cuadrático $\chi$ sobre $\mathbb{F}_p$. Los autores utilizan la desigualdad de Pólya-Vinogradov (Resultado 2.1) para acotar las sumas de caracteres sobre intervalos y resultados de Sárközy y Sokolovskiĭ (Resultado 2.2) respecto a los límites inferiores de estas sumas.
3. Transformación Algebraica: Para analizar la distribución de los números de intersección, los autores aplican transformaciones lineales a las variables de la desigualdad definitoria de $S$. Esto permite relacionar las funciones de proyección de diferentes direcciones entre sí.
4. Análisis del Grupo de Simetría: Los autores investigan el estabilizador del conjunto $S$ dentro del grupo lineal proyectivo $PGL(3, p)$ distinguiendo puntos específicos en el infinito basados en la distribución de los números de intersección de las rectas que pasan por ellos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Simetría Cíclica de las Proyecciones (Teorema 3.1):
  El principal resultado estructural es que para cualquier dirección no nula $d \in \mathbb{F}_p^*$, la función de proyección $pr_{S,d}$ es un desplazamiento cíclico de la función de proyección $pr_{S,1}$. Específicamente, los valores tomados por la función de proyección para cualquier dirección no vertical y no horizontal son idénticos salvo por un desplazamiento en el dominio. Esto implica que el conjunto $S$ "se ve igual" desde todas las direcciones excepto para las direcciones vertical ($\infty$) y horizontal ($0$).
  Además, la imagen de estas funciones de proyección forma un intervalo de enteros cuyo comprimento está acotado entre $\frac{\sqrt{p}}{2\pi}$ y $\sqrt{p} \ln(p)$.

• Tamaño del Conjunto (Teorema 3.3):
  Los autores establecen cotas ajustadas para la cardinalidad de $S$. Prueban que $|S|$ es siempre un múltiplo de $p$. Además, el tamaño de $S$ es cercano a $\binom{p}{2}$, con la desviación acotada por $c_p p \sqrt{p} \ln(p)$, donde la constante $c_p$ depende de $p \pmod 4$ y $p \pmod 8$. En el caso específico donde $p \equiv 1 \pmod 4$ y $\gamma = 0$, el tamaño es exactamente $\binom{p}{2}$.

• Rigidez de las Simetrías (Teorema 3.5):
  Contrario a la intuición de que tal comportamiento uniforme de proyección podría implicar una alta simetría, los autores prueban que para $p$ suficientemente grande ($p \geq 97$), el conjunto $S$ tiene un único automorfismo no trivial en $PGL(3, p)$. Este automorfismo es la reflexión a través del eje vertical: $(X, Y, Z) \mapsto (-X, Y, Z)$.
  La prueba demuestra que las direcciones $(0)$ y $(\infty)$ son distinguibles de forma única de todas las demás direcciones basándose en el número de conteos de intersección distintos de las rectas que pasan por ellas. Esta rigidez contrasta con la apariencia "uniforme" del conjunto desde otras direcciones.

• Clasificación de Clases de Isomorfismo (Observación 3.7):
  Los autores clasifican el número de conjuntos no isomorfos de este tipo. Al considerar las transformaciones afines y el complemento de los conjuntos, determinan que existen exactamente $3p+1$ conjuntos pairwise no isomorfos formados por puntos por debajo o sobre una parábola (incluyendo variaciones con $\leq, >, \geq$).

Significancia
El artículo destaca un fenómeno contraintuitivo en la geometría finita: un conjunto de puntos puede exhibir un alto grado de "uniformidad" en sus funciones de proyección (apareciendo idéntico desde casi todas las direcciones) mientras posee una simetría geométrica muy limitada (solo un automorfismo no trivial).

Este trabajo extiende los resultados de Kiss y Somlai [KS24] de fronteras lineales a fronteras cuadráticas. Demuestra que la propiedad de tener pocas direcciones especiales y funciones de proyección desplazadas cíclicamente no es exclusiva de los conjuntos definidos por desigualdades lineales. Los resultados dependen fuertemente de la distribución de los residuos cuadráticos y las sumas de caracteres, vinculando las propiedades geométricas del conjunto de puntos directamente con las propiedades aritméticas del cuerpo finito subyacente.

Los autores señalan que estos hallazgos forman parte de un esfuerzo más amplio por generalizar los resultados de [KS24], con un artículo acompañante [ASW24] que explora las conexiones con los códigos generados por matrices de incidencia de planos proyectivos finitos.