Points below a parabola in affine planes of prime order

Resumo Técnico: Pontos Abaixo de uma Parábola em Planos Afins de Ordem Prima

Enunciado do Problema
Este artigo investiga as propriedades geométricas e combinatórias do conjunto de pontos que se encontram abaixo de uma parábola no plano afim desarguesiano $AG(2, p)$, onde $p$ é um número primo. Especificamente, os autores analisam o conjunto $S = \{(x, y) \in \mathbb{F}_p^2 \mid y < f(x)\}$, onde $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ é um polinômio quadrático com $\alpha \neq 0$.

O estudo é motivado pelo trabalho recente de Kiss e Somlai [KS24], que examinaram o conjunto de pontos abaixo da reta diagonal ($y < x$) em $AG(2, p)$. Eles demonstraram que este conjunto determina exatamente três direções "especiais" (direções onde as retas não intersectam o conjunto de maneira equidistribuída) e que este conjunto possui um único automorfismo não trivial. Os autores deste artigo buscam determinar se fenômenos semelhantes ocorrem para conjuntos parabólicos, apesar do fato de que as parábolas geralmente possuem menos simetria do que as retas.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de geometria finita, teoria dos números e análise combinatória:

1. Ordenação e Projeção: Utilizando a correspondência canônica entre os elementos de $\mathbb{F}_p$ e os inteiros em $[0, p-1]$, os autores definem uma ordenação sobre o corpo. Eles introduzem a função de projeção $pr_{S,d}$, que mapeia uma direção $d$ para o número de pontos em $S$ intersectados por retas de inclinação $d$.
2. Análise do Caráter Quadrático: O cerne da análise baseia-se no caráter quadrático $\chi$ sobre $\mathbb{F}_p$. Os autores utilizam a desigualdade de Pólya-Vinogradov (Resultado 2.1) para limitar somas de caracteres sobre intervalos e resultados de Sárközy e Sokolovskiĭ (Resultado 2.2) referentes aos limites inferiores dessas somas.
3. Transformação Algébrica: Para analisar a distribuição dos números de interseção, os autores aplicam transformações lineares às variáveis na desigualdade definidora de $S$. Isso permite relacionar as funções de projeção de diferentes direções umas às outras.
4. Análise do Grupo de Simetria: Os autores investigam o estabilizador do conjunto $S$ dentro do grupo linear projetivo $PGL(3, p)$, distinguindo pontos específicos no infinito com base na distribuição dos números de interseção das retas que passam por eles.

Principais Contribuições e Resultados

• Simetria Cíclica de Projeções (Teorema 3.1):
  O principal resultado estrutural é que, para qualquer direção não nula $d \in \mathbb{F}_p^*$, a função de projeção $pr_{S,d}$ é um deslocamento cíclico da função de projeção $pr_{S,1}$. Especificamente, os valores assumidos pela função de projeção para qualquer direção não vertical e não horizontal são idênticos até um deslocamento no domínio. Isso implica que o conjunto $S$ "parece o mesmo" de todas as direções, exceto para as direções vertical ($\infty$) e horizontal ($0$).
  Além disso, a imagem dessas funções de projeção forma um intervalo de inteiros com um comprimento limitado entre $\frac{\sqrt{p}}{2\pi}$ e $\sqrt{p} \ln(p)$.

• Tamanho do Conjunto (Teorema 3.3):
  Os autores estabelecem limites estreitos para a cardinalidade de $S$. Eles provam que $|S|$ é sempre um múltiplo de $p$. Além disso, o tamanho de $S$ é próximo de $\binom{p}{2}$, com o desvio limitado por $c_p p \sqrt{p} \ln(p)$, onde a constante $c_p$ depende de $p \pmod 4$ e $p \pmod 8$. No caso específico onde $p \equiv 1 \pmod 4$ e $\gamma = 0$, o tamanho é exatamente $\binom{p}{2}$.

• Rigidez de Simetrias (Teorema 3.5):
  Ao contrário da intuição de que tal comportamento uniforme de projeção poderia implicar alta simetria, os autores provam que, para $p$ suficientemente grande ($p \geq 97$), o conjunto $S$ possui um único automorfismo não trivial em $PGL(3, p)$. Este automorfismo é a reflexão através do eixo vertical: $(X, Y, Z) \mapsto (-X, Y, Z)$.
  A prova demonstra que as direções $(0)$ e $(\infty)$ são unicamente distinguíveis de todas as outras direções com base no número de contagens distintas de interseção das retas que passam por elas. Esta rigidez contrasta com a aparência "uniforme" do conjunto a partir de outras direções.

• Classificação de Classes de Isomorfismo (Observação 3.7):
  Os autores classificam o número de conjuntos não isomorfos deste tipo. Ao considerar transformações afins e o complemento dos conjuntos, eles determinam que existem exatamente $3p+1$ conjuntos pairwise não isomorfos formados por pontos abaixo ou sobre uma parábola (incluindo variações com $\leq, >, \geq$).

Significância
O artigo destaca um fenômeno contraintuitivo na geometria finita: um conjunto de pontos pode exibir um alto grau de "uniformidade" em suas funções de projeção (parecendo idêntico a partir de quase todas as direções) enquanto possui uma simetria geométrica muito limitada (apenas um automorfismo não trivial).

Este trabalho estende os resultados de Kiss e Somlai [KS24] de fronteiras lineares para fronteiras quadráticas. Demonstra que a propriedade de ter poucas direções especiais e funções de projeção ciclicamente deslocadas não é exclusiva de conjuntos definidos por desigualdades lineares. Os resultados dependem fortemente da distribuição de resíduos quadráticos e somas de caracteres, ligando as propriedades geométricas do conjunto de pontos diretamente às propriedades aritméticas do corpo finito subjacente.

Os autores observam que estas descobertas fazem parte de um esforço mais amplo para generalizar os resultados de [KS24], com um artigo acompanhante [ASW24] explorando conexões com códigos gerados por matrizes de incidência de planos projetivos finitos.