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Nonlinear port-Hamiltonian system identification from input-state-output data (ISO-pHNN)

Este artículo presenta ISO-pHNN, un marco de trabajo que aprovecha las redes neuronales para identificar sistemas port-Hamiltonianos no lineales a partir de datos de entrada-estado-salida, demostrando que imponer la estructura física del sistema preserva la precisión al tiempo que mejora las capacidades de predicción a largo plazo.

Autores originales: Karim Cherifi, Achraf El Messaoudi, Hannes Gernandt, Marco Roschkowski

Publicado 2026-08-24

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CC BY 4.0

Autores originales: Karim Cherifi, Achraf El Messaoudi, Hannes Gernandt, Marco Roschkowski

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Imagina intentar comprender cómo funciona una máquina compleja, como el motor de un coche o un sistema meteorológico, sin haber visto nunca sus planos. Los científicos suelen recurrir a modelos matemáticos para predecir cómo se comportarán estos sistemas, pero crear esos modelos desde cero puede ser increíblemente difícil, especialmente cuando las reglas que rigen el sistema son complicadas o el propio sistema es un secreto patentado. Durante décadas, los investigadores han utilizado dos enfoques principales para resolver este enigma. Uno se basa en la física pura, construyendo modelos basados en las leyes fundamentales de la naturaleza, que son fiables pero difíciles de derivar para objetos complejos del mundo real. El otro se basa en los datos, utilizando programas informáticos para encontrar patrones en mediciones registradas, lo cual es flexible pero suele fallar al predecir qué sucede fuera de las condiciones específicas para las que fue entrenado. El desafío ha sido combinar lo mejor de ambos mundos: un modelo que aprenda de los datos pero que siga respetando las leyes inquebrantables de la física que rigen la energía y el movimiento.

Un equipo de investigadores ha desarrollado un nuevo método llamado ISO-pHNN para cerrar esta brecha. Se centraron en un tipo específico de sistema físico conocido como sistema port-Hamiltoniano. En términos sencillos, estos son sistemas donde la energía entra, se desplaza y se disipa, de forma muy similar al agua que fluye a través de una red de tuberías, bombas y fugas. La parte de "puerto" (port) se refiere a cómo el sistema se conecta con el mundo exterior, permitiendo que la energía entre o salga. La parte "Hamiltoniana" es una forma matemática de describir la energía total almacenada dentro del sistema. Estos modelos son muy valorados porque preservan naturalmente propiedades físicas importantes, como la conservación de la energía, lo que los hace estables y fiables para predicciones a largo plazo. Los investigadores querían ver si podían utilizar la inteligencia artificial para descifrar las reglas ocultas de estos sistemas simplemente observando cómo reaccionan a los estímulos externos, sin necesidad de conocer las ecuaciones de antemano.

Para lograrlo, el equipo creó un marco de trabajo que trata al sistema como una colección de cuatro partes distintas: las conexiones que mueven la energía, las partes que pierden energía por fricción o resistencia, la energía total almacenada y la forma en que las fuerzas externas presionan en el sistema. En lugar de intentar adivinar todo el sistema a la vez, utilizaron redes neuronales, que son programas informáticos diseñados para aprender patrones complejos, para descifrar cada una de estas cuatro partes por separado. Alimentaron al ordenador con flujos de datos que mostraban cómo cambiaba el estado del sistema a lo largo del tiempo en respuesta a diferentes estímulos. El ordenador ajustó entonces su configuración interna para coincidir con el comportamiento observado, adhiriéndose estrictamente a las reglas de la estructura port-Hamiltoniana. Esto aseguró que el modelo resultante no solo imitara los datos, sino que realmente se comportara como un sistema físico que obedece las leyes de la termodinámica.

Los investigadores probaron su método en varios escenarios diferentes, incluyendo un sistema de masas conectadas por resortes y amortiguadores, una bola levitada por un campo magnético y un motor eléctrico complejo. En cada caso, compararon su nuevo enfoque con los modelos estándar basados en datos que ignoraban la estructura física. Los resultados mostraron que su método era tan preciso, o incluso mejor, al predecir el comportamiento futuro del sistema. Crucialmente, descubrieron que añadir lo que llaman "información previa" hacía que los modelos fueran aún más potentes. Si los investigadores ya sabían que una parte específica del sistema, como la fricción o la forma en que entra la energía, era constante o seguía una regla simple, podían bloquear esa parte en el modelo y dejar que el ordenador aprendiera solo las partes desconocidas. Esto no solo mejoró la precisión de las predicciones, sino que también hizo que los modelos fueran más fiables durante periodos largos de tiempo, reduciendo los errores que suelen aparecer cuando las máquinas intentan adivinar demasiado.

Uno de los hallazgos más interesantes fue que el tipo de red neuronal utilizado importaba dependiendo del sistema. Para algunos sistemas, las redes estándar funcionaban mejor, mientras que para otros, un tipo más nuevo de red diseñado para manejar funciones matemáticas complejas funcionaba significativamente mejor. Esto sugiere que no existe una única herramienta "mejor" para cada trabajo; por el contrario, la elección correcta depende de la naturaleza específica del sistema que se esté estudiando. El equipo también demostró que su método podía manejar datos con ruido, donde las mediciones contenían pequeños errores, sin perder su capacidad para predecir correctamente el comportamiento del sistema. Esta robustez es vital para aplicaciones del mundo real donde los sensores nunca son perfectos.

En última instancia, este trabajo demuestra que es posible enseñar a la inteligencia artificial a aprender las reglas estructurales profundas de los sistemas físicos sin sacrificar la precisión en favor de la estructura. Al combinar la flexibilidad del aprendizaje basado en datos con la fiabilidad de las leyes físicas, los investigadores han creado una herramienta capaz de descubrir la dinámica oculta de máquinas complejas. Este enfoque ofrece un camino prometedor para ingenieros y científicos que necesitan modelar sistemas que son demasiado complicados para escribirse a mano, pero demasiado críticos como para equivocarse. La capacidad de aprender estos modelos a partir de datos de entrada y salida significa que incluso los sistemas que no disponen de planos disponibles pueden ser comprendidos, simulados y controlados con un alto grado de confianza.

Resumen Técnico: ISO-pHNN para la Identificación de Sistemas Port-Hamiltonianos No Lineales

Planteamiento del Problema

Los modelos basados en la física, particularmente aquellos fundamentados en leyes fundamentales, ofrecen una interpretabilidad y garantías de estabilidad superiores para los sistemas dinámicos. Sin embargo, derivar tales modelos para sistemas complejos, propietarios o de alta dimensionalidad suele ser intratable. Si bien los métodos puramente basados en datos ofrecen flexibilidad, frecuentemente sufren de una pobre capacidad de generalización y de una falta de consistencia física (por ejemplo, conservación de la energía) fuera de su ámbito de entrenamiento.

Los enfoques existentes para identificar sistemas port-Hamiltonianos (pH) se han centrado mayoritariamente en la dinámica lineal o solo han abordado parcialmente las no linealidades mediante la aproximación de componentes específicos (como el Hamiltoniano) mientras se mantienen otros fijos. Además, muchos de los métodos de aprendizaje actuales están diseñados para elecciones arquitectónicas específicas o supuestos estructurales fijos, careciendo de un marco unificado para incorporar sistemáticamente distintos grados de conocimiento físico previo. Este artículo aborda la brecha en la identificación de sistemas port-Hamiltonianos no lineales a partir de datos de entrada-estado-salida (ISO), con el objetivo de recuperar modelos que preserven la estructura y mantengan propiedades físicas como la pasividad y la conservación de la energía, aprovechando al mismo tiempo el poder de aproximación de las redes neuronales.

Metodología: El Marco ISO-pHNN

Los autores proponen ISO-pHNN, un marco unificado que aprende los componentes constitutivos de un sistema pH no lineal simultáneamente utilizando redes neuronales. El sistema objetivo se define mediante las ecuaciones estándar de pH:
$\dot{x} = (J(x) - R(x)) \nabla H(x) + B(x)u, \quad y = B(x)^\top \nabla H(x)$
donde $J(x)$ es antisimétrica (interconexión), $R(x)$ es simétrica semidefinida positiva (disipación), $H(x)$ es el Hamiltoniano (energía) y $B(x)$ es la matriz de entrada.

1. Parametrización de Preservación de Estructura

Para asegurar que los modelos aprendidos se adhieran estrictamente a las restricciones estructurales de pH, el marco emplea operaciones de remodelación específicas y esquemas de parametrización:

Construcción de Matrices: Las funciones de parámetros $\theta_J, \theta_R, \theta_B, \theta_H$ $θ_{J}, θ_{R}, θ_{B}, θ_{H}$ se mapean a funciones de tipo matriz mediante una operación de remodelación de vector a matriz ($vtf$).
- $J(x)$ se construye como la diferencia entre un vector remodelado y su transpuesta, garantizando la antisimetría.
- $R(x)$ se construye mediante el producto de un vector remodelado y su transpuesta (escalado por $1/\sqrt{n}$ ), garantizando la simetría y la semidefinición positiva.
- $B(x)$ y $H(x)$ se mapean directamente desde sus vectores de parámetros.
Arquitecturas Neuronales: Las funciones de parámetros se aproximan utilizando Perceptrones Multicapa (MLP) o Redes de Kolmogorov-Arnold (KAN).
- MLPs: Redes totalmente conectadas estándar con funciones de activación Swish (elegidas por su diferenciabilidad requerida por el gradiente del Hamiltoniano).
- KANs: Redes donde se colocan funciones univariantes aprendibles en las aristas, inspiradas en el teorema de representación de Kolmogorov-Arnold. Esto permite una dinámica aprendida potencialmente más interpretable.

2. Incorporación de Información Previa

Una característica clave de ISO-pHNN es la integración flexible de conocimiento físico previo. El marco permite a los usuarios especificar "funciones ansatz" para cualquier subconjunto de los componentes del sistema ( $J, R, H, B$ ).

Si un componente es conocido (por ejemplo, $J$ y $B$ son constantes derivadas de primeros principios), puede fijarse o parametrizarse como una matriz constante.
Si un componente es conocido por ser cuadrático (por ejemplo, un Hamiltoniano mecánico estándar), puede restringirse a una forma cuadrática.
Esta parametrización selectiva reduce la complejidad del modelo, mejora la eficiencia de los datos y restringe el proceso de aprendizaje a soluciones físicamente significativas.

3. Entrenamiento y Función de Pérdida

El sistema se entrena sobre trayectorias de entrada-estado-salida.

Generación de Datos: Las trayectorias se generan utilizando diversas condiciones iniciales y señales de entrada sinusoidales.
Función de Pérdida: El objetivo minimiza el error absoluto medio normalizado (NMAE) entre las derivadas de estado predichas ( $\dot{x}$ ) y reales, y las salidas ( $y$ ). La pérdida se pondera por la desviación estándar de los objetivos dentro del minibatch para manejar magnitudes variables. Un peso $\gamma$ equilibra la importancia de la predicción de la derivada del estado frente a la predicción de la salida, utilizándose típicamente $\gamma=0.25$ para priorizar la precisión del pronóstico a largo plazo.
Optimización: Se utiliza el optimizador AdamW con un esquema de programación de tasa de aprendizaje de recocido de coseno (cosine annealing).

Contribuciones Clave

Marco Unificado: La propuesta de ISO-pHNN, un marco flexible capaz de aprender todos los componentes de pH ( $J, R, H, B$ ) simultáneamente a partir de datos ISO.
Priors Informados por la Física: La introducción de un mecanismo para incorporar conocimiento previo parcial o completo (por ejemplo, matrices constantes, Hamiltonianos cuadráticos) en la parametrización de la red neuronal, mejorando la eficiencia del entrenamiento y la precisión.
Exploración Arquitectónica: La comparación sistemática de MLPs y KANs para la identificación de sistemas pH, evaluando sus respectivas fortalezas para modelar diferentes tipos de no linealidades.
Validación de la Estructura: Demostración de que imponer restricciones estructurales de pH no degrada la precisión de la identificación y, cuando se combina con priors, reduce significativamente los errores de predicción a largo plazo.

Resultados Experimentales

El marco fue validado en tres sistemas no lineales distintos:

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador:
- Presenta amortiguación no lineal ( $R$ ) y un Hamiltoniano cuadrático.
- Resultados: El modelo pH superó ligeramente a un modelo base de caja negra. La incorporación de priors (fijando $J, B$ y asumiendo un $H$ cuadrático) produjo el error más bajo. En este entorno de baja frecuencia, los MLPs superaron a las KANs.
Bola de Levitación Magnética:
- Presenta un Hamiltoniano no cuadrático y disipación dependiente del estado.
- Resultados: El modelo pH por defecto superó al modelo base. El conocimiento previo no aportó mejoras significativas en este caso específico. Los MLPs y las KANs lograron una precisión comparable.
Motor Síncrono de Imanes Permanentes (PMSM):
- Presenta interconexión dependiente del estado ( $J$ ) y un Hamiltoniano cuadrático.
- Resultados: El modelo pH superó significativamente al modelo base. Crucialmente, las KANs superaron significativamente a los MLPs en este entorno de alta frecuencia, lo que sugiere que la idoneidad de la arquitectura depende de las características espectrales del sistema.
- Sensibilidad a los Priors: El uso de priors "incorrectos" (por ejemplo, asumir un $J$ lineal cuando es no lineal) provocó una degradación significativa del rendimiento, resaltando la importancia del conocimiento previo preciso.
- Robustez: El método demostró robustez al ruido, con un rendimiento que se degrada de manera gradual a medida que disminuye la relación señal-ruido (SNR).

Significado y Reivindicaciones

El artículo afirma que ISO-pHNN proporciona un enfoque robusto y de preservación de estructura para identificar sistemas dinámicos no lineales. Los autores enfatizan que:

Integridad Física: Imponer las restricciones de pH no reduce la precisión en comparación con los modelos de caja negra; más bien, asegura que el modelo respete las leyes físicas (pasividad, conservación de la energía).
Eficiencia de Datos: Incorporar información previa (cuando está disponible) reduce significativamente el error de identificación y mejora las capacidades de predicción a largo plazo.
Flexibilidad: El marco no está ligado a una única arquitectura neuronal; la elección entre MLPs y KANs debe ser guiada por las características específicas del sistema (por ejemplo, contenido de frecuencia).
Practicidad: El método recupera con éxito los componentes del sistema y puede manejar datos ruidosos, lo que lo hace adecuado para aplicaciones donde las ecuaciones explícitas no están disponibles pero existen datos de simulación o medición.

Los autores concluyen que, si bien el método actualmente depende de las derivadas de estado (a menudo estimadas a partir de los datos), el trabajo futuro se centrará en eliminar esta dependencia y aplicar el marco a sistemas derivados de ecuaciones diferenciales parciales y datos de solo entrada-salida.