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Nonlinear port-Hamiltonian system identification from input-state-output data (ISO-pHNN)

Cet article présente ISO-pHNN, un cadre qui exploite les réseaux de neurones pour identifier des systèmes hamiltoniens de port non linéaires à partir de données entrée-état-sortie, démontrant que l'imposition de la structure physique du système préserve la précision tout en améliorant les capacités de prédiction à long terme.

Auteurs originaux : Karim Cherifi, Achraf El Messaoudi, Hannes Gernandt, Marco Roschkowski

Publié 2026-08-24

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Karim Cherifi, Achraf El Messaoudi, Hannes Gernandt, Marco Roschkowski

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez essayer de comprendre comment fonctionne une machine complexe, comme un moteur de voiture ou un système météorologique, sans jamais en avoir vu les plans. Les scientifiques s'appuient souvent sur des modèles mathématiques pour prédire comment ces systèmes vont se comporter, mais créer ces modèles à partir de zéro peut être incroyablement difficile, surtout lorsque les règles régissant le système sont compliquées ou que le système lui-même est un secret industriel. Pendant des décennies, les chercheurs ont utilisé deux approches principales pour résoudre ce casse-tête. L'une repose sur la physique pure, construisant des modèles basés sur les lois fondamentales de la nature, qui sont fiables mais difficiles à dériver pour des objets réels et désordonnés. L'autre repose sur les données, utilisant des programmes informatiques pour trouver des motifs dans des mesures enregistrées, ce qui est flexible mais échoue souvent à prédire ce qui se passe en dehors des conditions spécifiques sur lesquelles il a été entraîné. Le défi a été de combiner le meilleur des deux mondes : un modèle qui apprend des données tout en respectant les lois immuables de la physique qui régissent l'énergie et le mouvement.

Une équipe de chercheurs a développé une nouvelle méthode appelée ISO-pHNN pour combler ce fossé. Ils se sont concentrés sur un type spécifique de système physique appelé système port-Hamiltonien. En termes simples, il s'agit de systèmes où l'énergie entre, circule et se dissipe, un peu comme l'eau circulant à travers un réseau de tuyaux, de pompes et de fuites. La partie « port » fait référence à la façon dont le système se connecte au monde extérieur, permettant à l'énergie d'entrer ou de sortir. La partie « Hamiltonienne » est une manière mathématique de décrire l'énergie totale stockée au sein du système. Ces modèles sont prisés car ils préservent naturellement des propriétés physiques importantes, telles que la conservation de l'énergie, ce qui les rend stables et fiables pour des prédictions à long terme. Les chercheurs voulaient voir s'ils pouvaient utiliser l'intelligence artificielle pour découvrir les règles cachées de ces systèmes simplement en observant comment ils réagissent à des entrées, sans avoir besoin de connaître les équations au préalable.

Pour ce faire, l'équipe a créé un cadre qui traite le système comme une collection de quatre parties distinctes : les connexions qui déplacent l'énergie, les parties qui perdent de l'énergie par friction ou résistance, l'énergie totale stockée, et la manière dont les forces extérieures poussent dans le système. Au lieu d'essayer de deviner l'ensemble du système d'un seul coup, ils ont utilisé des réseaux de neurones, qui sont des programmes informatiques conçus pour apprendre des motifs complexes, pour identifier chacune de ces quatre parties séparément. Ils ont alimenté l'ordinateur avec des flux de données montrant comment l'état du système change au fil du temps en réponse à différentes entrées. L'ordinateur a ensuite ajusté ses paramètres internes pour correspondre au comportement observé tout en adhérant strictement aux règles de la structure port-Hamiltonienne. Cela a permis de garantir que le modèle résultant ne se contentait pas de mimer les données, mais qu'il se comportait réellement comme un système physique obéissant aux lois de la thermodynamique.

Les chercheurs ont testé leur méthode sur plusieurs scénarios différents, incluant un système de masses reliées par des ressorts et des amortisseurs, une balle en lévitation par un champ magnétique, et un moteur électrique complexe. Dans chaque cas, ils ont comparé leur nouvelle approche à des modèles standards basés sur les données qui ignoraient la structure physique. Les résultats ont montré que leur méthode était tout aussi précise, sinon plus, pour prédire le comportement futur du système. Crucialement, ils ont découvert que l'ajout de ce qu'ils appellent des « informations a priori » rendait les modèles encore plus puissants. Si les chercheurs savaient déjà qu'une partie spécifique du système, comme la friction ou la manière dont l'énergie entre, était constante ou suivait une règle simple, ils pouvaient verrouiller cette partie dans le modèle et laisser l'ordinateur apprendre uniquement les parties inconnues. Cela a non seulement amélioré la précision des prédictions, mais a également rendu les modèles plus fiables sur de longues périodes, réduisant les erreurs qui surviennent souvent lorsque les machines essaient de trop deviner.

L'une des découvertes les plus intéressantes fut que le type de réseau de neurones utilisé importait selon le système. Pour certains systèmes, les réseaux standards fonctionnaient le mieux, tandis que pour d'autres, un type de réseau plus récent conçu pour gérer des fonctions mathématiques complexes était nettement plus performant. Cela suggère qu'il n'existe pas un seul « meilleur » outil pour chaque tâche ; au contraire, le bon choix dépend de la nature spécifique du système étudié. L'équipe a également démontré que sa méthode pouvait gérer des données bruitées, où les mesures contenaient de petites erreurs, sans perdre sa capacité à prédire le comportement du système. Cette robustesse est vitale pour les applications réelles où les capteurs ne sont jamais parfaits.

En fin de compte, ce travail prouve qu'il est possible d'enseigner à l'intelligence artificielle à apprendre les règles structurelles profondes des systèmes physiques sans sacrifier la précision au profit de la structure. En combinant la flexibilité de l'apprentissage basé sur les données avec la fiabilité des lois physiques, les chercheurs ont créé un outil capable de découvrir la dynamique cachée de machines complexes. Cette approche offre une voie prometteuse pour les ingénieurs et les scientifiques qui doivent modéliser des systèmes trop compliqués pour être écrits à la main, mais trop critiques pour être mal compris. La capacité d'apprendre ces modèles à partir de données d'entrée et de sortie signifie que même des systèmes sans plans disponibles peuvent être compris, simulés et contrôlés avec un haut degré de confiance.

Résumé technique : ISO-pHNN pour l'identification de systèmes port-Hamiltoniens non linéaires

Énoncé du problème

Les modèles fondés sur la physique, particulièrement ceux ancrés dans des lois fondamentales, offrent une interprétabilité et des garanties de stabilité supérieures pour les systèmes dynamiques. Cependant, dériver de tels modèles pour des systèmes complexes, propriétaires ou de haute dimension est souvent intraitable. Bien que les méthodes purement fondées sur les données offrent une certaine flexibilité, elles souffrent fréquemment d'une faible capacité de généralisation et d'un manque de cohérence physique (par exemple, la conservation de l'énergie) en dehors de leur domaine d'entraînement.

Les approches existantes pour identifier les systèmes port-Hamiltoniens (pH) se sont largement concentrées sur la dynamique linéaire ou n'ont traité que partiellement les non-linéarités en approximant certains composants spécifiques (comme le Hamiltonien) tout en fixant d'autres. De plus, de nombreuses méthodes d'apprentissage actuelles sont adaptées à des choix architecturaux spécifiques ou à des hypothèses structurelles fixes, manquant d'un cadre unifié pour incorporer systématiquement des degrés variables de connaissances physiques préalables. Ce document traite de l'identification de systèmes port-Hamiltoniens non linéaires à partir de données entrée-état-sortie (ISO), visant à récupérer des modèles préservant la structure qui maintiennent des propriétés physiques telles que la passivité et la conservation de l'énergie, tout en exploitant la puissance d'approximation des réseaux de neurones.

Méthodologie : Le cadre ISO-pHNN

Les auteurs proposent ISO-pHNN, un cadre unifié qui apprend simultanément les composants constitutifs d'un système pH non linéaire à l'aide de réseaux de neurones. Le système cible est défini par les équations pH standards :
$\dot{x} = (J(x) - R(x)) \nabla H(x) + B(x)u, \quad y = B(x)^\top \nabla H(x)$
où $J(x)$ est antisymétrique (interconnexion), $R(x)$ est semi-définie positive symétrique (dissipation), $H(x)$ est le Hamiltonien (énergie), et $B(x)$ est la matrice d'entrée.

1. Paramétrage préservant la structure

Pour garantir que les modèles appris respectent strictement les contraintes structurelles pH, le cadre emploie des opérations de remodelage et des schémas de paramétrage spécifiques :

Construction de matrices : Les fonctions de paramètres $\theta_J, \theta_R, \theta_B, \theta_H$ $θ_{J}, θ_{R}, θ_{B}, θ_{H}$ sont mappées vers des fonctions à valeurs matricielles via une opération de remodelage vecteur-vers-matrice ($vtf$).
- $J(x)$ est construit comme la différence entre un vecteur remodelé et sa transposée, garantissant l'antisymétrie.
- $R(x)$ est construit via un produit d'un vecteur remodelé et de sa transposée (mis à l'échelle par $1/\sqrt{n}$ ), garantissant la symétrie et la semi-définie positivité.
- $B(x)$ et $H(x)$ sont directement mappés à partir de leurs vecteurs de paramètres.
Architectures neuronales : Les fonctions de paramètres sont approximées soit par des Perceptrons Multicouches (MLP), soit par des Réseaux de Kolmogorov-Arnold (KAN).
- MLPs : Réseaux entièrement connectés standards avec des fonctions d'activation Swish (choisies pour la différentiabilité requise par le gradient du Hamiltonien).
- KANs : Réseaux où des fonctions univariées apprenables sont placées sur les arêtes, inspirés par le théorème de représentation de Kolmogorov-Arnold. Cela permet d'obtenir des dynamiques apprises potentiellement plus interprétables.

2. Incorporation d'informations préalables

Une caractéristique clé d'ISO-pHNN est l'intégration flexible de connaissances physiques préalables. Le cadre permet aux utilisateurs de spécifier des "fonctions d'ansatz" pour n'importe quel sous-ensemble des composants du système ( $J, R, H, B$ ).

Si un composant est connu (par exemple, $J$ et $B$ sont constants selon les premiers principes), il peut être fixé ou paramétré comme une matrice constante.
Si un composant est connu pour être quadratique (par exemple, un Hamiltonien mécanique standard), il peut être contraint à une forme quadratique.
Cette paramétrage sélectif réduit la complexité du modèle, améliore l'efficacité des données et contraint le processus d'apprentissage vers des solutions physiquement significatives.

3. Entraînement et fonction de perte

Le système est entraîné sur des trajectoires entrée-état-sortie.

Génération de données : Les trajectoires sont générées en utilisant diverses conditions initiales et signaux d'entrée sinusoïdaux.
Fonction de perte : L'objectif minimise l'erreur absolue moyenne normalisée (NMAE) entre les dérivées d'état prédites ( $\dot{x}$ ) et réelles ainsi que les sorties ( $y$ ). La perte est pondérée par l'écart-type des cibles au sein du minibatch pour gérer les variations d'ordre de grandeur. Un poids $\gamma$ équilibre l'importance de la prédiction de la dérivée d'état par rapport à la prédiction de la sortie, avec $\gamma=0,25$ généralement utilisé pour donner la priorité à la précision de la prévision à long terme.
Optimisation : L'optimiseur AdamW avec un ordonnancement de taux d'apprentissage par recuit cosinus est utilisé.

Principales contributions

Cadre unifié : La proposition d'ISO-pHNN, un cadre flexible capable d'apprendre tous les composants pH ( $J, R, H, B$ ) simultanément à partir de données ISO.
Priors informés par la physique : L'introduction d'un mécanisme pour incorporer des connaissances préalables partielles ou complètes (par exemple, matrices constantes, Hamiltoniens quadratiques) dans la paramétrisation du réseau de neurones, améliorant l'efficacité de l'entraînement et la précision.
Exploration architecturale : La comparaison systématique des MLP et des KAN pour l'identification de systèmes pH, évaluant leurs forces respectives pour modéliser différents types de non-linéarités.
Validation de la structure : Démonstration que l'imposition des contraintes structurelles pH n'altère pas la précision de l'identification et que, combinée avec des priors, elle réduit considérablement les erreurs de prédiction à long terme.

Résultats expérimentaux

Le cadre a été validé sur trois systèmes non linéaires distincts :

Système Masse-Ressort-Amortisseur :
- Présente un amortissement non linéaire ( $R$ ) et un Hamiltonien quadratique.
- Résultats : Le modèle pH surpasse légèrement la référence "boîte noire". L'incorporation de priors (fixant $J, B$ et supposant un $H$ quadratique) a produit l'erreur la plus faible. Dans ce contexte de basse fréquence, les MLP surpassent les KAN.
Balle à lévitation magnétique :
- Présente un Hamiltonien non quadratique et une dissipation dépendante de l'état.
- Résultats : Le modèle pH par défaut surpasse la référence. Les connaissances préalables n'ont pas apporté d'améliorations significatives dans ce cas spécifique. Les MLP et les KAN atteignent une précision comparable.
Moteur synchrone à aimants permanents (PMSM) :
- Présente une interconnexion dépendante de l'état ( $J$ ) et un Hamiltonien quadratique.
- Résultats : Le modèle pH surpasse considérablement la référence. Crucialement, les KAN surpassent nettement les MLP dans ce contexte de haute fréquence, suggérant que le choix de l'architecture dépend des caractéristiques spectrales du système.
- Sensibilité aux priors : L'utilisation de "mauvais" priors (par exemple, supposer un $J$ linéaire alors qu'il est non linéaire) a conduit à une dégradation significative des performances, soulignant l'importance de l'exactitude des connaissances préalables.
- Robustesse : La méthode a démontré une robustesse au bruit, les performances se dégradant progressivement à mesure que le rapport signal sur bruit (SNR) diminue.

Signification et affirmations

L'article affirme qu'ISO-pHNN fournit une approche robuste et préservant la structure pour identifier des systèmes dynamiques non linéaires. Les auteurs soulignent que :

Intégrité physique : Imposer les contraintes pH ne diminue pas la précision par rapport aux modèles boîte noire ; cela garantit plutôt que le modèle respecte les lois physiques (passivité, conservation de l'énergie).
Efficacité des données : L'incorporation d'informations préalires (lorsqu'elles sont disponibles) réduit considérablement l'erreur d'identification et améliore les capacités de prédiction à long terme.
Flexibilité : Le cadre n'est pas lié à une architecture de réseau de neurones unique ; le choix entre les MLP et les KAN doit être guidé par les caractéristiques spécifiques du système (par exemple, le contenu fréquentiel).
Praticité : La méthode réussit à récupérer les composants du système et peut gérer des données bruitées, ce qui la rend adaptée aux applications pour lesquelles les équations explicites ne sont pas disponibles mais où des données de simulation ou de mesure existent.

Les auteurs concluent que bien que la méthode dépende actuellement des dérivées d'état (souvent estimées à partir des données), les travaux futurs se concentreront sur la suppression de cette dépendance et sur l'application du cadre à des systèmes dérivés d'équations aux dérivées partielles et de données uniquement d'entrée-sortie.