Height arguments toward the dynamical Mordell-Lang problem in arbitrary characteristic

Resumen Técnico: Argumentos de Altura hacia el Problema de Mordell–Lang Dinámico en Característica Arbitraria

Enunciado del Problema
El artículo aborda la conjetura de Mordell–Lang Dinámico (DML), un problema central en la dinámica aritmética. La conjetura postula que, para un endomorfismo racional $f$ de una variedad $X$ y un punto $x$ con una órbita bien definida, el conjunto de retornos $\{n \in \mathbb{N} \mid f^n(x) \in V\}$ (donde $V$ es una subvariedad cerrada) es una unión finita de progresiones aritméticas. Si bien esta conjetura "0-DML" se cumple en característica 0 para casos específicos (por ejemplo, endomorfismos étale, endomorfismos de $\mathbb{A}^2$), falla en característica positiva $p > 0$. En característica positiva, los conjuntos de retornos pueden exhibir estructuras complejas, lo que da lugar al problema "pDML", que busca caracterizar la forma de estos conjuntos. Trabajos anteriores de Corvaja, Ghioca, Scanlon y Zannier [6] y de los autores [37] establecieron que los conjuntos de retornos para ciertos sistemas son conjuntos "p-normales" o "ampliamente p-normales". Sin embargo, la estructura general de los conjuntos de retornos para endomorfismos arbitrarios en característica positiva sigue siendo en gran medida desconocida y potencialmente más compleja de lo que se conjeturaba anteriormente.

Metodología
Los autores emplean argumentos de altura para investigar el problema DML en característica arbitraria. La estrategia central consiste en identificar dos "velocidades" distintas de crecimiento de la altura para la órbita de un punto bajo diferentes fibrados en línea. Si la órbita interseca una subvariedad infinitamente a menudo, las tasas de crecimiento de la altura calculadas mediante estos diferentes fibrados deben ser compatibles. Los autores demuestran que, bajo condiciones dinámicas específicas, estas tasas de crecimiento son incompatibles, forzando la intersección a ser finita.

Las herramientas técnicas clave incluyen:

1. Multiplicadores de Lyapunov Cohomológicos ($\mu_i(f)$): Introducidos por el primer autor [29, 35], estos se definen como ratios de grados dinámicos ($\lambda_i(f)/\lambda_{i-1}(f)$). Sirven como valores propios del mapa de pullback en el grupo de clases numéricas. Los autores utilizan la condición de que estos multiplicadores no son raíces de la unidad (específicamente, no están en el conjunto $\text{Root} = \{a^{1/n} \mid a, n \in \mathbb{Z}^+\}$) para generar tasas de crecimiento distintas.
2. Conjugados de Galois: Para construir el segundo fibrado en línea necesario para el argumento de altura, los autores utilizan conjugados de Galois de los multiplicadores de Lyapunov cohomológicos. La suposición de que $\mu_i(f) \notin \text{Root}$ asegura que exista un conjugado $\mu'$ con $|\mu| \neq |\mu'|$, creando la disparidad requerida en las velocidades de crecimiento.
3. Mapas de Albanese: Para variedades proyectivas generales, los autores reducen el problema a casos extremos (donde el número de Picard es trivial o la variedad es una variedad abeliana) utilizando mapas de Albanese.
4. Alturas de Moriwaki: Aunque las pruebas principales se realizan en característica positiva utilizando alturas de Weil, los autores señalan que los argumentos se extienden a característica 0 sustituyendo la maquinaria de la altura de Weil por la maquinaria de altura de Moriwaki [22], la cual satisface la propiedad de Northcott para campos de funciones aritméticos.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Finitud de Conjuntos de Retornos para Órbitas Densas (Teorema 1.1):
   Los autores prueban que para un endomorfismo sobreyectivo $f$ de una variedad proyectiva $X$, si los multiplicadores de Lyapunov cohomológicos $\mu_i(f)$ no están en $\text{Root}$ para todo $i$, entonces el conjunto de retornos de una órbita densa en cualquier subcurva cerrada $C$ es finito. Este resultado generaliza hallazgos anteriores sobre automorfismos cohomológicamente hiperbólicos de superficies [34] a dimensiones y variedades arbitrarias.

   • Corolario 1.3: Esto se extiende a casos donde el conjunto de multiplicadores tiene una intersección vacía con el intervalo $[1, \deg(f)]$, incluyendo automorfismos cohomológicamente hiperbólicos y automorfismos amplificados.

2. Endomorfismos Divididos y Sistemas de Producto (Teorema 1.8):
   El artículo establece un resultado para endomorfismos divididos de espacios producto $X \times C$. Si $f: X \to X$ y $g: C \to C$ son endomorfismos sobreyectivos tales que el grado de $g$ excede el primer grado dinámico de $f$ ($\deg(g) > \lambda_1(f)$), y si $(X, f)$ satisface la propiedad DML de tipo $\epsilon$ (donde $\epsilon \in \{0, 1, 2\}$), entonces el sistema producto $(X \times C, f \times g)$ también satisface la propiedad DML de tipo $\epsilon$.

   • Mecanismo: La condición $\deg(g) > \lambda_1(f)$ crea un factor "rápido" ($C$) y un factor "lento" ($X$). El argumento de altura fuerza a que la componente de la órbita en el factor rápido sea preperiódica, reduciendo el problema al factor más lento.
   • Corolario 1.9: Aplicado a productos de curvas con grados distintos, esto implica que si los grados de los factores son estrictamente crecientes (siendo el primero 1), el sistema satisface la propiedad DML2 (conjuntos ampliamente p-normales).

3. Contraejemplos y Complejidad de los Conjuntos de Retornos (Sección 5):
   Los autores demuestran que el argumento de altura no puede aplicarse a todos los sistemas, específicamente a aquellos con entropía cero o endomorfismos int-amplificados (que son "isotrópicos" en términos de crecimiento).

   • Proposición 1.12: Construyen un automorfismo de un toro lineal con entropía cero que no satisface la propiedad DML1. Esto refuta una conjetura de Ghioca [9] sobre variedades afines.
   • Ejemplos 5.5 y 5.6: Los autores proporcionan ejemplos heurísticos y rigurosos que muestran que los conjuntos de retornos pueden ser significativamente más complejos que los "conjuntos ampliamente p-normales". Específicamente, construyen sistemas donde el conjunto de retornos involucra soluciones a sistemas de ecuaciones polinómico-exponenciales, produciendo conjuntos de la forma $\{p^{m_1} + p^{m_2} + p^{m_1+m_2}\}$, los cuales quedan fuera del alcance de los conjuntos p-normales definidos previamente.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma avanzar en la comprensión del problema DML en característica positiva mediante:

• Proporcionar un enfoque unificado basado en alturas que funciona en característica arbitraria (con la maquinaria de altura apropiada).
• Identificar una amplia clase de sistemas dinámicos (aquellos con multiplicadores de Lyapunov que no son raíces) donde los conjuntos de retornos son finitos, extendiendo resultados conocidos desde superficies hasta dimensiones superiores.
• Clarificar la relación estructural entre sistemas dinámicos divididos y sus factores, mostrando cómo las disparidades de grados controlan la complejidad de los conjuntos de retornos.
• Cuestionar la intuición predominante de que los conjuntos de retornos en característica positiva están acotados por estructuras "ampliamente p-normales". Los autores declaran explícitamente que sus ejemplos muestran que los conjuntos de retornos pueden ser "muy complicados — más complicados de lo que los expertos imaginaron alguna vez", incluso para endomorfismos de toros con entropía cero.

Los autores permanecen modestos respecto al alcance completo del problema pDML, señalando que el caso de los endomorfismos de toros es equivalente a resolver ecuaciones diofánticas difíciles [6] y que sus contraejemplos sugieren la necesidad de una conjetura refinada (Pregunta 5.9) que involucre conjuntos semilineales y sistemas de ecuaciones. No afirman haber resuelto el problema pDML general, sino más bien delimitar los límites donde los argumentos de altura tienen éxito y donde el problema exhibe una complejidad sin precedentes.