Height arguments toward the dynamical Mordell-Lang problem in arbitrary characteristic

Résumé technique : Arguments de hauteur vers le problème de Mordell–Lang dynamique en caractéristique arbitraire

Énoncé du problème
L'article traite de la conjecture de Mordell–Lang dynamique (DML), un problème central en dynamique arithmétique. La conjecture postule que pour une application rationnelle $f$ d'une variété $X$ et un point $x$ ayant une orbite bien définie, l'ensemble de retour $\{n \in \mathbb{N} \mid f^n(x) \in V\}$ (où $V$ est une sous-variété fermée) est une union finie de progressions arithmétiques. Alors que cette conjecture « 0-DML » est vraie en caractéristique 0 pour des cas spécifiques (par exemple, les endomorphismes étals, les endomorphismes de $\mathbb{A}^2$), elle échoue en caractéristique positive $p > 0$. En caractéristique positive, les ensembles de retour peuvent présenter des structures complexes, conduisant au problème « pDML », qui cherche à caractériser la forme de ces ensembles. Des travaux antérieurs de Corvaja, Ghioca, Scanlon et Zannier [6] et des auteurs [37] ont établi que les ensembles de retour pour certains systèmes sont des ensembles « p-normaux » ou « largement p-normaux ». Cependant, la structure générale des ensembles de retour pour des endomorphismes arbitraires en caractéristique positive reste largement inconnue et potentiellement plus complexe que ce qui avait été conjecturé.

Méthodologie
Les auteurs emploient des arguments de hauteur pour étudier le problème DML en caractéristique arbitraire. La stratégie centrale consiste à identifier deux « vitesses » distinctes de croissance de la hauteur pour l'orbite d'un point sous différents fibrés en droites. Si l'orbite intersecte une sous-variété infiniment souvent, les taux de croissance de la hauteur calculés via ces différents fibrés doivent être compatibles. Les auteurs démontrent que, sous des conditions dynamiques spécifiques, ces taux de croissance sont incompatibles, contraignant l'intersection à être finie.

Les outils techniques clés incluent :

1. Multiplicateurs de Lyapunov cohomologiques ($\mu_i(f)$) : Introduits par le premier auteur [29, 35], ils sont définis comme des rapports de degrés dynamiques ($\lambda_i(f)/\lambda_{i-1}(f)$). Ils servent de valeurs propres de l'application de tiré en arrière sur le groupe de classes numériques. Les auteurs utilisent la condition selon laquelle ces multiplicateurs ne sont pas des racines de l'unité (spécifiquement, pas dans l'ensemble $\text{Root} = \{a^{1/n} \mid a, n \in \mathbb{Z}^+\}$) pour générer des taux de croissance distincts.
2. Conjugués de Galois : Pour construire le deuxième fibré en droites nécessaire à l'argument de hauteur, les auteurs utilisent les conjugués de Galois des multiplicateurs de Lyapunov cohomologiques. L'hypothèse que $\mu_i(f) \notin \text{Root}$ assure l'existence d'un conjugué $\mu'$ tel que $|\mu| \neq |\mu'|$, créant la disparité requise dans les vitesses de croissance.
3. Applications d'Albanese : Pour les variétés projectives générales, les auteurs réduisent le problème à des cas extrêmes (où le nombre de Picard est trivial ou la variété est une variété abélienne) en utilisant les applications d'Albanese.
4. Hauteurs de Moriwaki : Bien que les preuves principales soient menées en caractéristique positive en utilisant les hauteurs de Weil, les auteurs notent que les arguments s'étendent à la caractéristique 0 en substituant l'outillage des hauteurs de Weil par l'outillage des hauteurs de Moriwaki [22], qui satisfait la propriété de Northcott pour les corps de fonctions arithmétiques.

Contributions et résultats clés

1. Finitude des ensembles de retour pour les orbites denses (Théorème 1.1) :
   Les auteurs prouvent que pour un endomorphisme surjectif $f$ d'une variété projective $X$, si les multiplicateurs de Lyapunov cohomologiques $\mu_i(f)$ ne sont pas dans $\text{Root}$ pour tout $i$, alors l'ensemble de retour d'une orbite dense dans toute sous-courbe fermée $C$ est fini. Ce résultat généralise les résultats antérieurs sur les automorphismes cohomologiquement hyperboliques des surfaces [34] à des dimensions et des variétés arbitraires.

   • Corollaire 1.3 : Cela s'étend aux cas où l'ensemble des multiplicateurs a une intersection vide avec l'intervalle $[1, \deg(f)]$, y compris les automorphismes cohomologiquement hyperboliques et les automorphismes amplifiés.

2. Endomorphismes scindés et systèmes produits (Théorème 1.8) :
   L'article établit un résultat pour les endomorphismes scindés des espaces produits $X \times C$. Si $f: X \to X$ et $g: C \to C$ sont des endomorphismes surjectifs tels que le degré de $g$ dépasse le premier degré dynamique de $f$ ($\deg(g) > \lambda_1(f)$), et si $(X, f)$ satisfait la propriété DML de type $\epsilon$ (où $\epsilon \in \{0, 1, 2\}$), alors le système produit $(X \times C, f \times g)$ satisfait également la propriété DML de type $\epsilon$.

   • Mécanisme : La condition $\deg(g) > \lambda_1(f)$ crée un facteur « rapide » ($C$) et un facteur « lent » ($X$). L'argument de hauteur force la composante de l'orbite dans le facteur rapide à être pré-périodique, réduisant le problème au facteur plus lent.
   • Corollaire 1.9 : Appliqué aux produits de courbes avec des degrés distincts, cela implique que si les degrés des facteurs sont strictement croissants (le premier étant 1), le système satisfait la propriété DML2 (ensembles largement p-normaux).

3. Contre-exemples et complexité des ensembles de retour (Section 5) :
   Les auteurs démontrent que l'argument de hauteur ne peut pas être appliqué à tous les systèmes, spécifiquement ceux à entropie nulle ou aux endomorphismes int-amplifiés (qui sont « isotropes » en termes de croissance).

   • Proposition 1.12 : Ils construisent un automorphisme d'un tore linéaire à entropie nulle qui ne satisfait pas la propriété DML1. Cela réfute une conjecture de Ghioca [9] concernant les variétés affines.
   • Exemples 5.5 et 5.6 : Les auteurs fournissent des exemples heuristiques et rigoureux montrant que les ensembles de retour peuvent être significativement plus complexes que les « ensembles largement p-normaux ». Spécifiquement, ils construisent des systèmes où l'ensemble de retour implique des solutions à des systèmes d'équations polynomiales-exponentielles, produisant des ensembles de la forme $\{p^{m_1} + p^{m_2} + p^{m_1+m_2}\}$, qui se situent en dehors du cadre des ensembles p-normaux précédemment définis.

Portée et affirmations
L'article prétend faire progresser la compréhension du problème DML en caractéristique positive en :

• Fournissant une approche unifiée basée sur la hauteur qui fonctionne en caractéristique arbitraire (avec un outillage de hauteur approprié).
• Identifiant une large classe de systèmes dynamiques (ceux avec des multiplicateurs de Lyapunov non racines) où les ensembles de retour sont finis, étendant les résultats connus des surfaces aux dimensions supérieures.
• Clarifiant la relation structurelle entre les systèmes dynamiques scindés et leurs facteurs, montrant comment les disparités de degrés contrôlent la complexité des ensembles de retour.
• Remettant en question l'intuition prévalente selon laquelle les ensembles de retour en caractéristique positive sont bornés par des structures « largement p-normales ». Les auteurs déclarent explicitement que leurs exemples montrent que les ensembles de retour peuvent être « très compliqués — plus compliqués que les experts ne l'avaient autrefois imaginé », même pour les endomorphismes à entropie nulle des tores.

Les auteurs restent modestes concernant la portée complète du problème pDML, notant que le cas des endomorphismes de tores est équivalent à la résolution d'équations diophantiennes difficiles [6] et que leurs contre-exemples suggèrent la nécessité d'une conjecture affinée (Question 5.9) impliquant des ensembles semi-linéaires et des systèmes d'équations. Ils ne prétendent pas avoir résolu le problème pDML général, mais délimitent plutôt les frontières où les arguments de hauteur réussissent et où le problème exhibe une complexité sans précédent.