Existence of variational solutions to doubly nonlinear systems in nondecreasing domains

Resumen Técnico: Existencia de Soluciones Variacionales para Sistemas Doblemente No Lineales en Dominios No Decrecientes

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de Cauchy–Dirichlet para sistemas parabólicos doblemente no lineales de la forma:
$$\partial_t (|u|^{q-1}u) - \text{div}(D_\xi f(x, u, Du)) = -D_u f(x, u, Du)$$
definido en un dominio no cilíndrico acotado $E \subset \mathbb{R}^{n+1}$ (donde $n \ge 2$). Se asume que el dominio $E$ es no decreciente con respecto al tiempo, lo que significa que las rebanadas temporales $E_t$ cumplen que $E_s \subset E_t$ para $0 \le s \le t < T$. Los parámetros satisfacen $q \in (0, \infty)$ y $p \in (1, \infty)$.

Se asume que el integrando $f(x, u, \xi)$ es:

1. Integrable en $x$ para $(u, \xi)$ fijos.
2. Convexo en $(u, \xi)$.
3. Satisface una condición de $p$-coercitividad: $\nu|\xi|^p \le f(x, u, \xi)$.
   Crucialmente, los autores no imponen una condición de crecimiento superior específica para el resultado principal de existencia, permitiendo un crecimiento exponencial o no estándar.

Metodología
La prueba de existencia se basa en una versión no lineal del método de movimientos minimizantes (también conocido como el esquema de Euler implícito o movimientos minimizantes de De Giorgi). El enfoque combina técnicas de trabajos previos sobre ecuaciones doblemente no lineales en dominios cilíndricos (Böglein et al. [17]) y sistemas parabólicos en dominios no cilíndricos (Böglein et al. [19]).

El procedimiento implica:

1. Discretización Temporal: El intervalo de tiempo $(0, T)$ se divide en pasos de tamaño $h_\ell = T/\ell$.
2. Minimización Iterativa: En cada paso de tiempo, se construye una secuencia de funciones $u_{\ell, i}$ minimizando un funcional variacional elíptico:
   $$F_\ell[w; u_{\ell, i-1}] = \int_\Omega f(x, w, Dw) \, dx + \frac{1}{h_\ell} \int_\Omega b[u_{\ell, i-1}, w] \, dx$$
   donde $b[u, v]$ es un término de frontera específico relacionado con la convexidad de la función de potencia $|v|^{q+1}$.
3. Estimaciones de Energía y Convergencia: Los autores derivan estimaciones de energía uniformes para las interpolaciones de paso constante $u_\ell$. Utilizando argumentos de compacidad (específicamente el Lema 3.11 que involucra la convergencia de $|u_\ell|^{(q+1)/2}$), establecen la existencia de un mapa límite $u$.
4. Manejo de Dominios No Cilíndricos: Un aspecto técnico clave es la gestión del dominio variable en el tiempo. La naturaleza no decreciente de $E$ permite a los autores extender los mapas de comparación y utilizar la suposición $L^{n+1}(\partial E) = 0$ para asegurar que el mapa límite satisfaga las condiciones de contorno laterales correctas.
5. Desigualdad Variacional: Se muestra que el mapa límite satisface una desigualdad variacional, la cual sirve como la definición de una solución variacional en este contexto.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Existencia en Dominios No Decrecientes (Teorema 2.3):
   El artículo demuestra la existencia de una solución variacional $u \in C^0([0, T]; L^{q+1}(\Omega, \mathbb{R}^N)) \cap V^p_q(E)$.

   • Generalidad: A diferencia de resultados previos restringidos a dominios cilíndricos o soluciones no negativas, este resultado se aplica a dominios no cilíndricos generales que son no decrecientes en el tiempo y permite soluciones con signo o de valores vectoriales.
   • Supuestos Débiles sobre $f$: La prueba de existencia se sostiene sin una condición de crecimiento superior para el integrando $f$, basándose únicamente en la convexidad y la coercitividad.
   • Regularidad: La solución posee una derivada temporal débil para el término $|u|^{q-1}u$ en un espacio dual específico, y la solución es continua en el tiempo con respecto a la norma $L^{q+1}$.

2. Existencia de la Derivada Temporal en el Espacio Dual (Teorema 2.5):
   Bajo supuestos adicionales —específicamente que el dominio satisface una condición de densidad de medida (relacionada con que el complemento sea uniformemente $p$-graso) y que $f$ satisface una condición estándar de crecimiento $p$— los autores demuestran que el término $|u|^{q-1}u$ admite una derivada temporal distributiva en el espacio dual $(V^{p,0}(E))'$.

3. Continuidad en el Tiempo:
   Los autores establecen que cualquier solución variacional es continua en el tiempo con valores en $L^{q+1}(\Omega, \mathbb{R}^N)$. Esto se logra probando la desigualdad variacional con una mollificación temporal de la solución, una técnica adaptada al entorno no cilíndrico.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo se posiciona como una generalización de las teorías existentes para ecuaciones doblemente no lineales.

• Extensión del Alcance: Extiende la teoría de existencia desde dominios cilíndricos hacia dominios no cilíndricos (específicamente no decrecientes), abordando un vacío en la literatura donde estas variaciones geométricas no fueron tratadas completamente para sistemas doblemente no lineales.
• Condiciones de Crecimiento Relajadas: Al eliminar la condición de crecimiento superior del integrando $f$ para el resultado de existencia, los autores permiten una clase más amplia de no linealidades, incluyendo el crecimiento exponencial, que anteriormente se manejaban bajo restricciones más estrictas o en contextos específicos.
• Síntesis Metodológica: El trabajo sintetiza con éxito el enfoque de "movimientos minimizantes" para ecuaciones doblemente no lineales con el manejo geométrico de dominios dependientes del tiempo.
• Unicidad: Los autores señalan explícitamente que la unicidad no se establece en este trabajo. Indican que la unicidad para tales sistemas es un tema delicado, particularmente en dominios no cilíndricos, y sigue siendo una cuestión abierta para el caso general considerado aquí, aunque se conoce para casos específicos como la ecuación de la porosidad con soluciones no negativas.

El artículo concluye que los métodos desarrollados pueden potencialmente adaptarse para valores de frontera dependientes del tiempo, aunque el presente trabajo se centra en valores de frontera laterales independientes del tiempo para establecer la teoría de existencia central.