Existence of variational solutions to doubly nonlinear systems in nondecreasing domains

Resumo Técnico: Existência de Soluções Variacionais para Sistemas Duplamente Não Lineares em Domínios Não Decrescentes

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de Cauchy–Dirichlet para sistemas parabólicos duplamente não lineares da forma:
$$\partial_t (|u|^{q-1}u) - \text{div}(D_\xi f(x, u, Du)) = -D_u f(x, u, Du)$$
definido em um domínio não cilíndrico limitado $E \subset \mathbb{R}^{n+1}$ (onde $n \ge 2$). O domínio $E$ é assumido como não decrescente em relação ao tempo, o que significa que as fatias temporais $E_t$ satisfazem $E_s \subset E_t$ para $0 \le s \le t < T$. Os parâmetros satisfazem $q \in (0, \infty)$ e $p \in (1, \infty)$.

O integrando $f(x, u, \xi)$ é assumido como sendo:

1. Integrável em $x$ para $(u, \xi)$ fixos.
2. Convexo em $(u, \xi)$.
3. Satisfaz uma condição de $p$-coercividade: $\nu|\xi|^p \le f(x, u, \xi)$.
   Crucialmente, os autores não impõem uma condição específica de crescimento superior para $f$ para o resultado principal de existência, permitindo crescimento exponencial ou não padrão.

Metodologia
A prova de existência baseia-se em uma versão não linear do método dos movimentos minimizantes (também conhecido como o esquema de Euler implícito ou movimentos minimizantes de De Giorgi). A abordagem combina técnicas de trabalhos anteriores sobre equações duplamente não lineares em domínios cilíndricos (Böglein et al. [17]) e sistemas parabólicos em domínios não cilíndricos (Böglein et al. [19]).

O procedimento envolve:

1. Discretização Temporal: O intervalo de tempo $(0, T)$ é dividido em passos de tamanho $h_\ell = T/\ell$.
2. Minimização Iterativa: Em cada passo de tempo, uma sequência de funções $u_{\ell, i}$ é construída minimizando um funcional variacional elíptico:
   $$F_\ell[w; u_{\ell, i-1}] = \int_\Omega f(x, w, Dw) \, dx + \frac{1}{h_\ell} \int_\Omega b[u_{\ell, i-1}, w] \, dx$$
   onde $b[u, v]$ é um termo de contorno específico relacionado à convexidade da função de potência $|v|^{q+1}$.
3. Estimativas de Energia e Convergência: Os autores derivam estimativas de energia uniformes para as interpolações constantes por partes $u_\ell$. Usando argumentos de compacidade (especificamente o Lema 3.11 envolvendo a convergência de $|u_\ell|^{(q+1)/2}$), eles estabelecem a existência de um mapa limite $u$.
4. Tratamento de Domínios Não Cilíndricos: Um aspecto técnico fundamental é gerenciar o domínio variante no tempo. A natureza não decrescente de $E$ permite que os autores estendam mapas de comparação e utilizem a suposição $L^{n+1}(\partial E) = 0$ para garantir que o mapa limite satisfaça as condições de contorno lateral corretas.
5. Desigualdade Variacional: O mapa limite é mostrado para satisfazer uma desigualdade variacional, que serve como a definição de uma solução variacional neste contexto.

Principais Contribuições e Resultados

1. Existência em Domínios Não Decrescentes (Teorema 2.3):
   O artigo prova a existência de uma solução variacional $u \in C^0([0, T]; L^{q+1}(\Omega, \mathbb{R}^N)) \cap V^p_q(E)$.

   • Generalidade: Diferente de resultados anteriores restritos a domínios cilíndricos ou soluções não negativas, este resultado aplica-se a domínios não cilíndricos gerais que são não decrescentes no tempo e permite soluções com sinal ou de valores vetoriais.
   • Suposições Fracas sobre $f$: A prova de existência ocorre sem uma condição de crescimento superior para $f$, baseando-se apenas em convexidade e coercividade.
   • Regularidade: A solução possui uma derivada temporal fraca para o termo $|u|^{q-1}u$ em um espaço dual específico, e a solução é contínua no tempo em relação à norma $L^{q+1}$.

2. Existência da Derivada Temporal no Espaço Dual (Teorema 2.5):
   Sob suposições adicionais — especificamente que o domínio satisfaz uma condição de densidade de medida (relacionada ao fato de o complemento ser uniformemente $p$-gordo) e que $f$ satisfaz uma condição padrão de crescimento $p$ — os autores provam que o termo $|u|^{q-1}u$ admite uma derivada temporal distributiva no espaço dual $(V^{p,0}(E))'$.

3. Continuidade no Tempo:
   Os autores estabelecem que qualquer solução variacional é contínua no tempo com valores em $L^{q+1}(\Omega, \mathbb{R}^N)$. Isso é alcançado testando a desigualdade variacional com uma suavização temporal da solução, uma técnica adaptada para o cenário não cilíndrico.

Significância e Alegações
O artigo posiciona-se como uma generalização das teorias existentes para equações duplamente não lineares.

• Extensão do Escopo: Ele estende a teoria de existência de domínios cilíndricos para domínios não cilíndricos (especificamente não decrescentes), abordando uma lacuna na literatura onde tais variações geométricas não foram totalmente tratadas para sistemas duplamente não lineares.
• Condições de Crescimento Relaxadas: Ao remover a condição de crescimento superior do integrando $f$ para o resultado de existência, os autores permitem uma classe mais ampla de não linearidades, incluindo crescimento exponencial, que eram anteriormente tratadas apenas sob restrições mais estritas ou em contextos específicos.
• Síntese Metodológica: O trabalho sintetiza com sucesso a abordagem de "movimentos minimizantes" para equações duplamente não lineares com o tratamento geométrico de domínios dependentes do tempo.
• Unicidade: Os autores explicitamente observam que a unicidade não é estabelecida neste trabalho. Eles citam que a unicidade para tais sistemas é uma questão delicada, particularmente em domínios não cilíndricos, e permanece uma questão aberta para o caso geral considerado aqui, embora seja conhecida para casos específicos como a equação de porosidade com soluções não negativas.

O artigo conclui que os métodos desenvolvidos podem potencialmente ser adaptados para valores de contorno dependentes do tempo, embora o presente trabalho foque em valores de contorno lateral independentes do tempo para estabelecer a teoria central de existência.