Unbiased estimation in new Gini index extensions under gamma distributions, with application to real income data

Resumen Técnico: Estimación Insesgada en Extensiones del Nuevo Índice de Gini bajo Distribuciones Gamma

Planteamiento del Problema
El índice de Gini clásico, aunque ampliamente utilizado para medir la desigualdad de ingresos, condensa toda la distribución en un único valor escalar. Esta agregación puede ocultar características distributivas críticas, como si la desigualdad se concentra en las colas inferior, media o superior. Extensiones recientes, como el índice de Gini $m$-ésimo (Gavilan-Ruiz et al., 2024), generalizan la medida clásica al considerar el rango esperado de muestras de tamaño $m$. Sin embargo, estas medidas siguen siendo indicadores agregados y no proporcionan información sobre cómo se distribuye la desigualdad en relación con posiciones específicas dentro de la muestra, particularmente en lo que respecta a los extremos inferior y superior. Existe la necesidad de medidas que ofrezcan una evaluación "orientada a la posición" de la desigualdad, manteniendo propiedades estadísticas deseables, como la insesgadez, bajo supuestos distribucionales comunes en la modelización económica.

Metodología
Los autores introducen dos nuevas medidas: el índice de Gini inferior extendido ($IG_{m;\min}$) y el índice de Gini superior extendido ($IG_{m;\max}$). Estos se definen para una variable aleatoria no negativa $X$ con media $\mu$ y un tamaño de muestra $m \geq 2$:

• $IG_{m;\min} = \frac{E[X_1 - \min\{X_1, \dots, X_m\}]}{m\mu}$
• $IG_{m;\max} = \frac{E[\max\{X_1, \dots, X_m\} - X_1]}{m\mu}$

Estos índices cuantifican la desigualdad en relación con las colas inferior y superior, respectivamente. Notablemente, suman el índice de Gini $m$-ésimo ($IG_m$). Los coeficientes poblacionales son invariantes a la observación específica elegida debido a la intercambiabilidad, aunque los estimadores muestrales dependen de la posición $i$ seleccionada.

El artículo se centra en poblaciones con distribución Gamma ($X \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)$), una elección motivada por la prevalencia de la distribución en la modelización de ingresos y su tractabilidad analítica respecto a los estadísticos de orden. Los autores:

1. Derivan Estimadores: Construyen estimadores basados en muestras ($\widehat{d}_i IG_{m;\min}$ y $\widehat{d}_i IG_{m;\max}$) utilizando U-estadísticos sobre todas las posibles submuestras de tamaño $m$ a partir de una muestra de tamaño $n$.
2. Establecen Propiedades Asintóticas: Demuestran consistencia y normalidad asintótica bajo condiciones de regularidad leves utilizando la ley fuerte de los grandes números para U-estadísticos y la descomposición de Hoeffding.
3. Prueban la Insesgadez: Utilizan técnicas de la transformada de Laplace y propiedades específicas de la distribución Gamma para derivar expresiones exactas de las expectativas de los estimadores. Los autores demuestran que, para poblaciones Gamma, los estimadores son insesgados, es decir, $E[\widehat{d}_i IG_{m;\min}] = IG_{m;\min}$ y $E[\widehat{d}_i IG_{m;\max}] = IG_{m;\max}$.
4. Caracterizan Propiedades: Establecen la invarianza de escala, la falta de invarianza de traslación y las representaciones de covarianza que involucran la función de distribución $F$.

Resultos Clave

• Insesgadez Teórica: El artículo proporciona expresiones exactas de muestra finita para las expectativas de los estimadores propuestos bajo el modelo Gamma, demostrando que son insesgados. Esto extiende resultados previos de Deltas (2003) y Baydil et al. (2025) relativos al índice de Gini $m$-ésimo.
• Descomposición: La suma de los índices inferior y superior extendidos recupera el índice de Gini $m$-ésimo, lo que permite una descomposición de la desigualdad total en componentes de la cola inferior y de la cola superior.
• Desempeño de la Simulación: Las simulaciones de Monte Carlo (500 replicaciones) para datos Gamma(2, 1) con tamaños de muestra $n \in \{10, 30, 50, 100, 200\}$ y $m=3$ confirman los hallazgos teóricos. Los estimadores exhiben un sesgo empírico pequeño que disminuye con el tamaño de la muestra y un Error Cuadrático Medio (MSE) que converge según lo esperado, respaldando las afirmaciones de consistencia e insesgadez.
• Aplicación Empírica: La metodología se aplicó a los datos del PIB per cápita de 2023 de 11 países sudamericanos. Los datos se ajustaron a una distribución Gamma (validada mediante pruebas KS y Cramér-von Mises). Los mapas de calor de los índices estimados a través de diferentes valores de $m$ e $i$ revelaron patrones sistemáticos:
  • El índice inferior extendido aumentó con $i$ y $m$, reflejando la sensibilidad a la dispersión en la cola inferior.
  • El índice superior extendido produjo valores más altos que el índice inferior para los mismos parámetros, reflejando el mayor impacto del estadístico de orden máximo.
  • El análisis demostró que estos índices proporcionan una caracterización más rica de la desigualdad que un único coeficiente agregado, revelando rasgos distintivos de la distribución de ingresos en ambas colas.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que estas son las primeras medidas de tipo Gini que separan explícitamente las contribuciones de la desigualdad en relación con los extremos inferior y superior de la muestra, poseyendo al mismo tiempo insesgadez exacta de muestra finita bajo modelos Gamma y propiedades inferenciales estándar de muestra grande.

El artículo enfatiza que, a diferencia de las medidas de Gini tradicionales, los índices propuestos ofrecen una "perspectiva orientada a la posición", permitiendo a los investigadores evaluar cómo se manifiesta la desigualdad en relación con colas distribucionales específicas. Al proporcionar estimadores insesgados para poblaciones Gamma —un modelo común para datos económicos—, los autores argumentan que estas medidas sirven como herramientas complementarias útiles para el análisis de la desigualdad, capaces de revelar características distributivas que podrían permanecer ocultas al utilizar un único coeficiente agregado. El trabajo extiende la literatura sobre medidas de tipo Gini al cerrar la brecha entre las medidas de rango agregado y la evaluación de la desigualdad específica de la posición.