Unbiased estimation in new Gini index extensions under gamma distributions, with application to real income data

Résumé Technique : Estimation Non Biaisée des Nouvelles Extensions de l'Indice de Gini sous des Distributions Gamma

Énoncé du Problème
L'indice de Gini classique, bien que largement utilisé pour mesurer l'inégalité des revenus, condense l'ensemble de la distribution en une seule valeur scalaire. Cette agrégation peut occulter des caractéristiques distributionnelles critiques, telles que la question de savoir si l'inégalité est concentrée dans les queues inférieure, médiane ou supérieure. Des extensions récentes, telles que l'indice de Gini d'ordre $m$ (Gavilan-Ruiz et al., 2024), généralisent la mesure classique en considérant l'étendue attendue d'échantillons de taille $m$. Cependant, ces mesures restent des indicateurs agrégés et ne fournissent pas d'informations sur la manière dont l'inégalité est distribuée par rapport à des positions spécifiques au sein de l'échantillon, particulièrement en ce qui concerne les extrêmes inférieurs et supérieurs. Il existe un besoin de mesures offrant une évaluation « orientée vers la position » de l'inégalité tout en maintenant des propriétés statistiques désirables, telles que l'absence de biais sous des hypothèses de distribution spécifiques courantes en modélisation économique.

Méthodologie
Les auteurs introduisent deux nouvelles mesures : l'indice de Gini inférieur étendu ($IG_{m;\min}$) et l'indice de Gini supérieur étendu ($IG_{m;\max}$). Celles-ci sont définies pour une variable aléatoire non négative $X$ de moyenne $\mu$ et de taille d'échantillon $m \geq 2$ :

• $IG_{m;\min} = \frac{E[X_1 - \min\{X_1, \dots, X_m\}]}{m\mu}$
• $IG_{m;\max} = \frac{E[\max\{X_1, \dots, X_m\} - X_1]}{m\mu}$

Ces indices quantifient l'inégalité par rapport aux queues inférieure et supérieure, respectivement. Notamment, leur somme est égale à l'indice de Gini d'ordre $m$ ($IG_m$). Les coefficients de la population sont invariants à l'observation spécifique choisie en raison de l'échangeabilité, bien que les estimateurs d'échantillon dépendent de la position $i$ sélectionnée.

L'article se concentre sur les populations suivant une loi Gamma ($X \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)$), un choix motivé par la prévalence de cette distribution dans la modélisation des revenus et sa tractabilité analytique concernant les statistiques d'ordre. Les auteurs :

1. Dérivent des Estimateurs : Construisent des estimateurs basés sur l'échantillon ($\widehat{d}_i IG_{m;\min}$ et $\widehat{d}_i IG_{m;\max}$) en utilisant des statistiques de U sur tous les sous-échantillons possibles de taille $m$ à partir d'un échantillon de taille $n$.
2. Établissent les Propriétés Asymptotiques : Prouvent la cohérence et la normalité asymptotique sous des conditions de régularité modérées en utilisant la loi forte des grands nombres pour les statistiques de U et la décomposition de Hoeffding.
3. Prouvent l'Absence de Biais : Utilisent des techniques de transformée de Laplace et des propriétés spécifiques de la distribution Gamma pour dériver des expressions exactes des espérances des estimateurs. Les auteurs démontrent que pour les populations Gamma, les estimateurs sont sans biais, c'est-à-dire que $E[\widehat{d}_i IG_{m;\min}] = IG_{m;\min}$ et $E[\widehat{d}_i IG_{m;\max}] = IG_{m;\max}$.
4. Caractérisent les Propriétés : Établissent l'invariance d'échelle, l'absence d'invariance par translation et les représentations de covariance impliquant la fonction de distribution $F$.

Résultats Clés

• Absence de Biais Théorique : L'article fournit des expressions exactes en échantple fini des espérances des estimateurs proposés sous le modèle Gamma, prouvant qu'ils sont sans biais. Cela étend les résultats précédents de Deltas (2003) et Baydil et al. (2025) concernant l'indice de Gini d'ordre $m$.
• Décomposition : La somme des indices inférieur et supérieur étendus permet de retrouver l'indice de Gini d'ordre $m$, permettant une décomposition de l'inégalité globale en composantes de queue inférieure et de queue supérieure.
• Performance de la Simulation : Des simulations de Monte Carlo (500 réplications) pour des données Gamma(2, 1) avec des tailles d'échantillon $n \in \{10, 30, 50, 100, 200\}$ et $m=3$ confirment les conclusions théoriques. Les estimateurs présentent un faible biais empirique qui diminue avec la taille de l'échantillon et une erreur quadratique moyenne (MSE) qui converge comme prévu, soutenant les affirmations de cohérence et d'absence de biais.
• Application Empirique : La méthodologie a été appliquée aux données du PIB par habitant de 2023 pour 11 pays d'Amérique du Sud. Les données ont été ajustées à une distribution Gamma (validée par les tests KS et Cramér-von Mises) : les cartes thermiques des indices estimés à travers différentes valeurs de $m$ et $i$ ont révélé des motifs systématiques :
  • L'indice inférieur étendu augmentait avec $i$ et $m$, reflétant la sensibilité à la dispersion dans la queue inférieure.
  • L'indice supérieur étendu présentait des valeurs plus élevées que l'indice inférieur pour les mêmes paramètres, reflétant l'impact plus important de la statistique d'ordre maximale.
  • L'analyse a démontré que ces indices offrent une caractérisation plus riche de l'inégalité qu'un coefficient agrégé unique, révélant des caractéristiques distinctes de la distribution des revenus aux deux queues.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment qu'il s'agit des premières mesures de type Gini qui séparent explicitement les contributions d'inégalité par rapport aux extrêmes inférieurs et supérieurs de l'échantillon tout en possédant à la fois une absence de biais exacte en échantple fini sous les modèles Gamma et des propriétés inférentielles standards en grand échantillon.

L'article souligne qu'à la différence des mesures de Gini traditionnelles, les indices proposés offrent une « perspective orientée vers la position », permettant aux chercheurs d'évaluer comment l'inégalité se manifeste par rapport à des queues de distribution spécifiques. En fournissant des estimateurs sans biais pour les populations Gamma — un modèle courant pour les données économiques — les auteurs soutiennent que ces mesures servent d'outils complémentaires utiles pour l'analyse de l'inégalité, capables de révéler des caractéristiques distributionnelles qui pourraient rester cachées lors de l'utilisation d'un coefficient agrégé unique. Ce travail étend la littérature sur les mesures de type Gini en comblant le fossé entre les mesures basées sur l'étendue agrégée et l'évaluation de l'inégalité spécifique à une position.