Barycentric stability of nonlocal perimeters: the convex case

Resumen Técnico: Estabilidad Baricéntrica de Perímetros No Locales: El Caso Convexo

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la estabilidad cuantitativa de la desigualdad isoperimétrica dentro del marco de los perímetros no locales (fraccionarios). Específicamente, investiga si un conjunto $E$ que casi minimiza el perímetro fraccionario $s$ debe ser geométricamente cercano a una bola, medido por la asimetría baricéntrica $\lambda_0(E)$.

Mientras que la desigualdad isoperimétrica cuantitativa clásica (que relaciona el déficit isoperimétrico con la asimetría de Fraenkel) está bien establecida para conjuntos generales, la versión que involucra la asimetría baricéntrica solo es conocida por cumplirse bajo restricciones geométricas específicas (por ejemplo, convexidad o acotación) en el caso local ($s=1$). Los autores pretenden extender la desigualdad baricéntrica cuantitativa aguda al entorno fraccionario ($s \in (0,1)$) para conjuntos convexos. La asimetría baricéntrica se define como el volumen normalizado de la diferencia simétrica entre el conjunto $E$ y la bola centrada en el baricentro de $E$, $\text{bar}(E)$, con el mismo volumen. Esta elección evita la optimización requerida en la definición de Fraenkel, lo que la hace computacionalmente ventajosa, aunque es una condición más fuerte que generalmente requiere supuestos geométricos adicionales para cumplirse.

Metodología
La prueba sigue la estrategia establecida por Fuglede para el caso convexo local, adaptada al entorno no local. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Reducción al Régimen de Pequeño Déficit:
   Los autores establecen primero que para conjuntos convexos con un déficit $s$-isoperimétrico $\delta_s(E)$ suficientemente pequeño, el conjunto debe estar uniformemente acotado. Esto se logra mediante la Proposición 3.3, que deriva una cota inferior para el perímetro fraccionario en términos del inradio $r_E$ de un conjunto convexo. Al combinar esto con la definición del déficit, demuestran que los conjuntos con déficits pequeños no pueden tener diámetros arbitrariamente grandes. Esto permite reducir el problema a conjuntos contenidos dentro de un cubo fijo $Q_l$.

2. Continuidad y Compacidad:
   Utilizando la acotación uniforme establecida anteriormente, el Lema 3.1 demuestra que para conjuntos contenidos en un cubo fijo, un déficit pequeño implica una asimetría baricéntrica pequeña. Esto se basa en la semicontinuidad inferior del perímetro fraccionario con respecto a la convergencia $L^1$ y en el hecho de que la bola es el único minimizador.

3. Estabilidad para Conjuntos Casi Esféricos:
   Para conjuntos que están cerca de una bola (casi esféricos), los autores utilizan una estimación espectral de tipo Fuglede (Teorema 2.3). Parametrizan la frontera del conjunto como una perturbación de la esfera unidad y relacionan el déficit $\delta_s(E)$ con la norma $L^2$ de la función de perturbación $u$. Al combinar esta cota inferior espectral con la relación geométrica entre la norma $L^1$ de $u$ y la asimetría baricéntrica, derivan la desigualdad deseada para el caso de "déficit pequeño".

4. Argumento Global:
   La prueba final (Teorema 1.1) combina los dos regímenes. Si el déficit es grande, la desigualdad se cumple trivialmente debido a la acotación de la asimetría. Si el déficit es pequeño, se demuestra que el conjunto es casi esférico (vía la cota del diámetro y el Lema 3.1), permitiendo la aplicación de la estimación espectral.

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado principal es el Teorema 1.1, que establece una desigualdad isoperimétrica cuantitativa aguda para conjuntos convexos en el entorno fraccionario:
$$\lambda_0(E) \leq C \sqrt{\delta_s(E)}$$
donde $C$ depende únicamente de la dimensión $n$ y del parámetro fraccionario $s$.

Componentes técnicos clave incluyen:

• Estimación del Inradio: La derivación de una cota inferior para el perímetro fraccionario de un conjunto convexo en términos de su inradio (Ecuación 3.4), específicamente $P_s(E) \geq \alpha_{n,s} |E| / r_E^s$. Se señala que esta estimación es potencialmente de interés independiente.
• Extensión del Resultado de Fuglede: El artículo adapta con éxito el resultado de estabilidad convexa local al perímetro fraccionario no local, confirmando que el exponente $1/2$ sigue siendo agudo para la asimetría baricéntrica en este contexto.
• Comportamiento Límite: Los autores muestran en la Observación 4.2 que su resultado es consistente con el caso local ($s \to 1$) y puede utilizarse para recuperar la desigualdad baricéntrica local mediante argumentos de límite que involucran la convergencia de déficits fraccionarios al déficit clásico.

Significación y Reivindicaciones
Los autores posicionan este trabajo como el inicio del estudio de las desigualdades isoperimétricas bariéntricas cuantitativas en el entorno fraccionario. Expresan explícitamente que, si bien la prueba está actualmente restringida a conjuntos convexos, la metodología es lo suficientemente robusta como para extenderse a "conjuntos casi esféricos" (Observación 4.1), lo cual es un paso crucial hacia una aplicabilidad más amplia.

El artículo enfatiza que, al igual que en el caso local, la desigualdad baricéntrica no puede cumplirse para conjuntos generales sin supuestos adicionales (como la equi-acotación), citando un contraejemplo que involucra dos bolas separadas. El trabajo sirve como un análogo no local del seminal resultado de Fuglede [16], cerrando la brecha entre la estabilidad geométrica local y los problemas variacionales no locales. Los autores no pretenden resolver el problema para conjuntos no convexos generales, sino establecer el resultado agudo para la clase convexa, proporcionando una base para futuras extensiones.