Barycentric stability of nonlocal perimeters: the convex case

Resumo Técnico: Estabilidade Baricêntrica de Perímetros Não Locais: O Caso Convexo

Enunciado do Problema
O artigo aborda a estabilidade quantitativa da desigualdade isoperimétrica no âmbito dos perímetros não locais (fracionários). Especificamente, investiga se um conjunto $E$ que quase minimiza o perímetro $s$-fracionário deve ser geometricamente próximo de uma bola, medido pela assimetria baricêntrica $\lambda_0(E)$.

Embora a desigualdade isoperimétrica quantitativa clássica (relacionando o déficit isoperimétrico à assimetria de Fraenkel) seja bem estabelecida para conjuntos gerais, a versão envolvendo a assimetria baricêntrica é conhecida por ser válida apenas sob restrições geométricas específicas (por exemplo, convexidade ou limitabilidade) no caso local ($s=1$). Os autores visam estender a desigualdade baricêntrica quantitativa aguda para o cenário fracionário ($s \in (,1)$) para conjuntos convexos. A assimetria baricêntrica é definida como o volume normalizado da diferença simétrica entre o conjunto $E$ e a bola centrada no baricentro de $E$, $\text{bar}(E)$, com o mesmo volume. Esta escolha evita a otimização necessária na definição de Fraenkel, tornando-a computacionalmente vantajosa, embora seja uma condição mais forte que geralmente requer suposições geométricas adicionais para ser válida.

Metodologia
A prova segue a estratégia estabelecida por Fuglede para o caso convexo local, adaptada para o cenário não local. A metodologia procede em três etapas principais:

1. Redução ao Regime de Pequeno Déficit:
   Os autores estabelecem primeiro que, para conjuntos convexos com um déficit $s$-isoperimétrico $\delta_s(E)$ suficientemente pequeno, o conjunto deve ser uniformemente limitado. Isso é alcançado via Proposição 3.3, que deriva um limite inferior para o perímetro fracionário em termos do raio interno $r_E$ de um conjunto convexo. Ao combinar isso com a definição do déficit, eles provam que conjuntos com pequenos déficits não podem ter diâmetros arbitrariamente grandes. Isso permite que o problema seja reduzido a conjuntos contidos em um cubo fixo $Q_l$.

2. Continuidade e Compacidade:
   Utilizando a limitabilidade uniforme estabelecida acima, o Lema 3.1 demonstra que, para conjuntos contidos em um cubo fixo, um pequeno déficit implica em pequena assimetria baricêntrica. Isso baseia-se na semicontinuidade inferior do perímetro fracionário em relação à convergência $L^1$ e no fato de que a bola é o minimizador único.

3. Estabilidade para Conjuntos Quase Esféricos:
   Para conjuntos que estão próximos de uma bola (quase esféricos), os autores utilizam uma estimativa espectral do tipo Fuglede (Teorema 2.3). Eles parametrizam a fronteira do conjunto como uma perturbação da esfera unitária e relacionam o déficit $\delta_s(E)$ com a norma $L^2$ da função de perturbação $u$. Ao combinar esta estimativa de limite inferior espectral com a relação geométrica entre a norma $L^1$ de $u$ e a assimetria baricêntrica, eles derivam a desigualdade desejada para o caso de "pequeno déficit".

4. Argumento Global:
   A prova final (Teorema 1.1) combina os dois regimes. Se o déficit é grande, a desigualdade é trivialmente satisfeita devido à limitabilidade da assimetria. Se o déficit é pequeno, mostra-se que o conjunto é quase esférico (via limite de diâmetro e Lema 3.1), permitindo a aplicação da estimativa espectral.

Principais Contribuições e Resultados
O resultado primário é o Teorema 1.1, que estabelece uma desigualdade isoperimétrica quantitativa aguda para conjuntos convexos no cenário fracionário:
$$\lambda_0(E) \leq C \sqrt{\delta_s(E)}$$
onde $C$ depende apenas da dimensão $n$ e do parâmetro fracionário $s$.

Componentes técnicos fundamentais incluem:

• Estimativa do Raio Interno: A derivação de um limite inferior para o perímetro fracionário de um conjunto convexo em termos de seu raio interno (Equação 3.4), especificamente $P_s(E) \geq \alpha_{n,s} |E| / r_E^s$. Esta estimativa é observada como potencialmente de interesse independente.
• Extensão do Resultado de Fuglede: O artigo adapta com sucesso o resultado de estabilidade convexa local para o perímetro fracionário não local, confirmando que o expoente $1/2$ permanece agudo para a assimetria baricêntrica neste contexto.
• Comportamento de Limite: Os autores mostram em Observação 4.2 que seu resultado é consistente com o caso local ($s \to 1$) e pode ser usado para recuperar a desigualdade baricêntrica local via argumentos de limite envolvendo a convergência de déficits fracionários para o déficit clássico.

Significância e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como o início do estudo das desigualdades isoperimétricas bariêntricas quantitativas no cenário fracionário. Eles declaram explicitamente que, embora a prova esteja atualmente restrita a conjuntos convexos, a metodologia é robusta o suficiente para se estender a "conjuntos quase esféricos" (Observação 4.1), o que é um passo crucial para uma aplicabilidade mais ampla.

O artigo enfatiza que, de forma semelhante ao caso local, a desigualdade baricêntrica não pode ocorrer para conjuntos gerais sem suposições adicionais (como equi-limitabilidade), citando um contraexemplo envolvendo duas bolas separadas. O trabalho serve como um análogo não local ao resultado seminal de Fuglede [16], preenchendo a lacuna entre a estabilidade geométrica local e problemas variacionais não locais. Os autores não alegam resolver o problema para conjuntos não convexos gerais, mas sim estabelecer o resultado agudo para a classe convexa, fornecendo uma base para extensões futuras.