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The Mathematical Theory of Behavioural Swarms: Towards Modelling the Collective Dynamics of Living Systems

Este artículo introduce un marco matemático exhaustivo para los "Enjambres de Comportamiento" que supera las limitaciones de los modelos clásicos al incorporar variables de actividad interna dinámica para modelar rigurosamente la dinámica colectiva adaptativa, heterogénea y dirigida por la agencia de los sistemas vivos.

Autores originales: Rene Fabregas, Jie Liao, Nisrine Outada

Publicado 2026-08-17

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CC BY 4.0

Autores originales: Rene Fabregas, Jie Liao, Nisrine Outada

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Los seres vivos no se mueven como las piedras o los planetas. Una roca sigue las leyes de la física con una predictibilidad perfecta, pero un pájaro, una bacteria o un ser humano portan un mundo interno que cambia su forma de actuar. Este mundo interno incluye sentimientos como el miedo, la confianza o el estrés, que cambian de un momento a otro y alteran cómo un individuo interactúa con los demás. Durante décadas, los científicos han intentado escribir reglas matemáticas que describan cómo grupos de estos seres vivos se mueven juntos. Los intentos más famosos trataron a cada miembro del grupo como una máquina simple, que seguía reglas fijas para coincidir con la velocidad y dirección de sus vecinos. Si bien estos modelos explicaban cómo las bandadas de aves o los bancos de peces podían mantenerse unidos, pasaron por alto una verdad crucial: los seres vivos no son máquinas. Ellos toman decisiones basadas en sus propios estados de ánimo y estrategias cambiantes.

Este vacío en la comprensión es lo que un nuevo estudio de investigadores en España, China y Marruecos busca llenar. Han desarrollado una nueva teoría matemática llamada la "teoría de los enjambres de comportamiento". En lugar de tratar a cada miembro de un grupo como un objeto estático, este nuevo marco otorga a cada individuo una variable oculta y cambiante llamada "actividad". Piense en esta actividad como una medida de qué tan alerta, estresado o motivado está un individuo en cualquier segundo. Este número no es fijo; cambia a medida que el individuo interactúa con otros y, a su vez, cambia la forma en que el individuo se mueve. Los investigadores construyeron un conjunto de reglas que vincula este estado interno directamente con el movimiento físico, creando un sistema donde el miedo de una persona puede cambiar instantáneamente su velocidad al caminar, o la confianza de un pájaro puede alterar su ruta de vuelo.

El estudio comienza analizando modelos antiguos que funcionaban bien para la alineación simple pero fallaban al capturar la complejidad de la vida. En esos sistemas antiguos, si un pájaro quería girar, simplemente promediaba las direcciones de las aves a su alrededor. La nueva teoría añade una capa de toma de decisiones. Propone que antes de que un pájaro o una persona se mueva, primero actualiza su estado interno basado en lo que ve y siente. Si un peatón en una multitud siente una creciente sensación de pánico, ese sentimiento (la actividad) influye inmediatamente en qué tan rápido camina y hacia dónde gira. Los investigadores demostraron que este estado interno y el movimiento físico están trabados en un bucle: el entorno cambia el sentimiento, y el sentimiento cambia el movimiento.

Para probar si esta idea funciona, el equipo la aplicó a dos situaciones del mundo real muy diferentes: el movimiento de personas en una multitud y la compra y venta de bienes en un mercado. En el escenario de la multitud, simularon un grupo de peatones donde una persona de repente entró en pánico. El modelo mostró cómo se propagaría ese pánico. Cuando la persona en pánico veía a otros, su miedo influía en esos vecinos, quienes luego se volvían temerosos ellos mismos. Los investigadores descubrieron que la forma de la ola de pánico dependía en gran medida de qué tan lejos podían ver las personas. Si todos tenían un campo de visión amplio, el pánico se propagaba más rápido y cubría un área más extensa. Si su visión era estrecha, el pánico se movía más lentamente en una línea apretada. Esto coincidía con lo que podríamos esperar en la vida real, pero el modelo lo probó matemáticamente rastreando la "actividad" cambiante de cada persona en la simulación.

En la segunda aplicación, los investigadores observaron un mercado donde compradores y vendedores interactúan. Aquí, la "actividad" representaba cuánto quería un comprador un producto o cuánto estaba dispuesto un vendedor a bajar su precio. El modelo mostró que cuando los compradores actuaban como un grupo, buscando la mejor oferta, podían crear ondas repentinas de demanda que obligaban a los precios a cambiar. A diferencia de los modelos económicos anteriores que asumían que una autoridad central establece los precios, este sistema mostró cómo los precios podían emerger naturalmente de las decisiones caóticas e individuales de muchas personas. La simulación reveló que si los vendedores podían ajustar sus precios basándose en cuántos compradores los estaban mirando, el mercado eventualmente encontraría un precio estable por sí solo, sin que nadie les dijera qué hacer.

Los investigadores también exploraron qué sucede cuando un grupo no solo se mueve junto, sino que también piensa junto. Simularon un escenario donde los individuos intentaban ponerse de acuerdo en una dirección para ir, pero también intentaban ponerse de acuerdo en una opinión interna. Descubrieron algo sorprendente: el grupo podía alcanzar un acuerdo perfecto sobre hacia dónde caminar, incluso si permanecían profundamente divididos sobre lo que creían. El movimiento físico del grupo se volvió unificado, mientras que sus estados internos permanecieron divididos en diferentes bandos. Esto sugiere que, en la vida real, una multitud puede moverse como una sola unidad incluso si las personas dentro de ella están discutiendo o manteniendo puntos de vista diferentes.

Aunque la teoría es poderosa, los autores advierten con cuidado sobre sus límites. La versión actual del modelo asume que el número de personas en el grupo permanece igual; aún no tiene en cuenta que las personas nazcan o mueran, o que aparezcan nuevos agentes de la nada. Esto la hace menos adecuada para estudiar cosas como la propagación de un virus donde el número de personas infectadas cambia constantemente. Sin embargo, para sistemas donde el tamaño del grupo es estable, la teoría ofrece una imagen mucho más clara de cómo los sentimientos internos impulsan las acciones externas.

El artículo concluye mirando hacia el futuro, sugiriendo que esta teoría podría combinarse con herramientas modernas de aprendizaje computacional. Al alimentar estos modelos con datos reales de bandadas de animales o multitudes humanas, los científicos podrían algún día descubrir automáticamente las reglas exactas que gobiernan cómo cambia la actividad. Esto movería el campo de adivinar cómo se comportan las personas a predecirlo realmente. El trabajo no pretende haber resuelto el misterio de la vida, pero proporciona un lenguaje nuevo y más honesto para describirla. Al admitir que los seres vivos portan un mundo interno que cambia y se transforma, la teoría de los enjambres de comportamiento ofrece una forma de entender la compleja y adaptativa danza de la vida sin reducirla a una simple mecánica.

Resumen Técnico: La Teoría Matemática de los Enjambres de Comportamiento

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una limitación fundamental en el modelado clásico de enjambres, específicamente dentro de marcos como Cucker–Smale (CS) y Vicsek. Aunque estos modelos describen con éxito la alineación colectiva y el bandoneo basándose en reglas mecánicas (posición y velocidad), tratan a los agentes como autómatas homogéneos gobernados por reglas predeterminadas. No logran capturar las estrategias adaptativas intrínsecas, la heterogeneidad y los procesos de toma de decisiones internos característicos de los sistemas vivos. Los autores argumentan que se requiere un "cálculo de la vida"—uno que vaya más allá de las descripciones de la materia inerte para formalizar cómo los estados internos (por ejemplo, estrés, motivación, confianza) coevolucionan con la dinámica mecánica a través de interacciones no locales.

Metodología
El artículo formaliza la Teoría Matemática de los Enjambres de Comportamiento (BST, por sus siglas en inglés), un marco donde el estado de cada agente (una "partícula activa" o a-partícula) se aumenta mediante una variable interna dinámica denominada actividad ( $u_i$ ). A diferencia de los modelos clásicos donde los parámetros son fijos, la actividad es una variable de estado que coevoluciona, la cual modula y es modulada por la el movimiento mecánico del agente.

La metodología central consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) acopladas de segundo orden que gobiernan la evolución de cuatro variables de estado para cada partícula $i$ :

Posición ( $x_i$ ) y Velocidad ( $v_i$ ): Dinámica mecánica.
Actividad ( $u_i$ ): Una variable interna adimensional ( $u_i \in [0,1]$ ) que representa estados conductuales (por ejemplo, estrés, convicción, nivel de aprendizaje).
Momento de Actividad ( $z_i = \dot{u}_i$ ): La tasa de cambio de la actividad.

El sistema está estructurado jerárquicamente para reflejar el flujo causal en los sistemas vivos:

Paso 1 (Actualización del Comportamiento): El estado interno $u_i$ evoluciona basándose en interacciones dentro de un dominio de interacción $\Omega_i$ dinámico (definido por la intersección de visibilidad y sensibilidad). Esta evolución es impulsada por una "fuerza conductual" ( $\chi_{ij}$ ) que representa influencias sociales como la imitación o el aprendizaje.
Paso 2 (Actualización Mecánica): El estado conductual actualizado informa la dinámica mecánica. La velocidad $v_i$ evoluciona basándose en una "fuerza mecánica" ( $\psi_{ij}$ ), que incluye alineación, atracción o repulsión, pero que ahora está ponderada y modulada por los niveles de actividad actuales de los agentes que interactúan.

La tasa de interacción $\eta_{ij}$ no es constante y depende del estado completo del par en interacción, lo que permite interacciones heterogéneas y dependientes del estado. El marco es lo suficientemente general como para especializarse en sistemas espacialmente homogéneos (centrándose únicamente en la dinámica de opiniones/sentimientos) o sistemas basados en redes (reemplazando el espacio físico por la topología de un grafo).

Contribuciones Clave

Formalización de la Actividad como una Variable Dinámica: La contribución principal es la integración matemática rigurosa de una variable de "actividad" interna que no es un parámetro fijo, sino una variable de estado dinámica. Esto crea un bucle de retroalimentación donde el comportamiento impulsa el movimiento, y el movimiento (a través de la percepción del entorno) impulsa el comportamiento.
Unificación de Modelos: El artículo demuestra que el marco BST es una generalización natural de los modelos existentes. Al restringir la variable de actividad para que sea constante y simplificar las reglas de interacción, el BST se reduce al modelo clásico de Cucker–Smale. Por el contrario, puede recuperar el modelo Cucker–Smale Termodinámico interpretando la actividad como temperatura.
Marco de Aplicación Dual: Los autores proporcionan una estructura unificada aplicable a dos clases distintas de problemas:
- Enjambres Físicos: Donde la dinámica ocurre en el espacio físico (por ejemplo, multitudes de peatones, bandadas de animales), y la actividad modula la velocidad y la dirección.
- Enjambres Abstractos: Donde la dinámica ocurre enteramente en el espacio de estados de las variables internas (por ejemplo, formación de opiniones, dinámica de precios de mercado), sin movimiento físico.
Comparación Crítica: El artículo ofrece un análisis crítico contrastando el BST con la Teoría de Partículas Activas (KTAP) y las teorías de Fokker–Planck–Boltzmann (FPB). Destaca que el BST no requiere la suposición de un gran número de partículas para la continuidad (a diferencia de KTAP), pero señala sus limitaciones computacionales con $N$ grande y su incapacidad actual para modelar eventos proliferativos/destructivos (nacimiento/muerte).

Resultados y Demostraciones Numéricas
El artículo valida la teoría a través de varios estudios de caso numéricos y aplicaciones:

Estrés y Comportamiento de Enjambre: Las simulaciones muestran que los agentes con niveles de actividad más altos se alinean más rápidamente con las señales externas. Cuando la actividad es dinámica y se basa en el consenso, el enjambre logra una mejor cohesión. La influencia asimétrica (donde solo los agentes de alta actividad influyen en otros) conduce a una convergencia más rápida y a la emergencia de líderes móviles.
Dinámica de Mercado (Cherry-Picking): En un modelo de mercado descentralizado, el marco captura el comportamiento de "cherry-picking" donde los compradores buscan los precios más bajos. El modelo demuestra cómo las interacciones locales conducen a fenómenos macroscópicos como estructuras de mercado de "ganador se lleva todo" o consenso de precios, dependiendo de si los vendedores adaptan sus precios.
Propagación del Pánico: Experimentos numéricos en multitudes de peatones revelan que la geometría del dominio de interacción (ángulo de visibilidad) afecta críticamente la propagación del pánico. Un ángulo de visibilidad más amplio conduce a ondas de pánico más rápidas, amplias y aceleradas debido a la amplificación no lineal del estado emocional.
Dinámicas de Multi-Consenso: El artículo ilustra que los agentes pueden lograr un consenso cinemático (moverse en la misma dirección) mientras mantienen la heterogeneidad conductual (mantener diferentes opiniones internas). Al introducir un mecanismo de "confianza limitada" (los agentes solo interactúan si sus estados internos son cercanos), el sistema se fragmenta en distintos grupos de opinión mientras logra simultáneamente la alineación global en el movimiento.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo posiciona al BST como una evolución necesaria en el modelado matemático de los sistemas vivos, cerrando la brecha entre el movimiento mecánico y la agencia interna. Su significancia radica en:

Proporcionar un marco riguroso basado en EDO que modela explícitamente la retroalimentación recíproca entre los estados internos y la dinámica física.
Ofrecer una estructura flexible capaz de describir diversos sistemas, desde agregaciones biológicas hasta mercados económicos, bajo un único formalismo.
Identificar la necesidad de un desarrollo futuro en el descubrimiento basado en datos. Los autores proponen utilizar Redes Neuronales Informadas por la Física (PINNs) para resolver problemas inversos con datos dispersos y la Identificación de la Dinámica No Lineal Dispersa (SINDy) para descubrir las formas analíticas de los núcleos de interacción a partir de datos observacionales. Esto busca mover la teoría de lo descriptivo a lo predictivo, derivando las leyes de interacción a partir de primeros principios o datos en lugar de supuestos empíricos.

Los autores concluyen que, si bien el BST enfrenta actualmente desafíos en cuanto a escalabilidad computacional y el modelado de eventos no conservativos (nacimiento/muerte), proporciona un plano fundacional para una ciencia predictiva del comportamiento colectivo en sistemas vivos adaptativos.

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