The dark dimension, proton decay, and the length of the M-theory interval

Título: La dimensión oscura, la desintegración del protón y la longitud del intervalo de la teoría M
Autores: Mario Reig e Ignacio Ruiz
Afiliación: Departamento de Física Teórica, CERN

Planteamiento del Problema

El interés reciente en el escenario de la "dimensión oscura" postula la existencia de una dimensión extra puramente gravitatoria de gran tamaño (escala de micrómetros, $r \sim 50\,\mu\text{m}$), motivada por conjeturas del Pantano (Swampland) y el valor observado de la constante cosmológica. En el límite de acoplamiento fuerte de la teoría de cuerdas heterótica $E_8 \times E_8$ (teoría M de Hořava-Witten), la undécima dimensión acomoda naturalmente tal configuración, con campos de gauge y materia localizados en branas de "fin del mundo".

Sin embargo, una dimensión extra grande implica una escala baja de gravedad cuántica (QG), $\Lambda_{\text{QG}} \sim 10^{9-10}$ GeV. Esto genera una tensión con las Teorías de Gran Unificación (GUT). Si el Modelo Estándar (ME) se incrusta en un marco de GUT (por ejemplo, mediante branas $E_8$), la masa de los bosones de gauge de GUT ($M_X$) está acotada por la escala de QG. Una escala de QG baja conduce a una $M_X$ baja, lo que a su vez predice una desintegración rápida del protón mediante operadores de dimensión-6 mediados por estos bosones de gauge. Los límites experimentales actuales sobre la vida media del protón ($\tau_p \gtrsim 2.4 \times 10^{34}$ años) requieren una escala de GUT $M_{\text{GUT}} \gtrsim 2 \times 10^{16}$ GeV. El artículo investiga si el intervalo de la teoría M de Hořava-Witten puede ser lo suficientemente grande para servir como una dimensión oscura mientras permanece consistente con estas restricciones de desintegración del protón.

Metodología

Los autores realizan un análisis cuantitativo de la relación entre el tamaño de la undécima dimensión ($R$), la masa de Planck en 11 dimensiones ($M_{\text{Pl},11}$) y la escala de GUT dentro del marco de la teoría M heterótica. El análisis se lleva a cabo en tres regímenes distintos:

1. Teoría completa en 11d (Deformada y Plana):

   • Los autores consideran una compactificación con flujo en un producto deformado $X \times S^1/\mathbb{Z}_2$, donde $X$ es una variedad de Calabi-Yau (CY) tridimensional.
   • Derivan la relación entre la masa de Planck en 4d ($M_{\text{Pl},4}$), la masa de Planck en 11d y la longitud física del intervalo $R$, teniendo en cuenta la deformación inducida por el número de instantones $Q$ (relacionado con la diferencia en las cargas topológicas en los dos límites).
   • Imponen la condición de consistencia de que la escala de masa de Kaluza-Klein (KK) de los bosones de gauge de GUT debe estar acotada por la escala de Planck en 11d ($M_{\text{KK}} \lesssim M_{\text{Pl},11}$) y que la escala de GUT debe satisfacer $M_{\text{GUT}} \lesssim M_{\text{KK}}$ para evitar una desintegración excesiva del protón.

2. Teoría efectiva en 5d:

   • Los autores analizan el sistema utilizando la solución de pared de dominio en la descripción efectiva en 5d, válida a energías por debajo de $M_{\text{Pl},11}$.
   • Derivan límites sobre el tamaño del intervalo $R$ reduciendo la acción de Einstein-Hilbert en 5d a 4d y aplicando las mismas restricciones de desintegración del protón ($M_{\text{Pl},5} > M_{\text{GUT}}$).

3. Branas M5 en el Bulk:

   • Los autores extienden el análisis a un escenario hipotético donde la GUT del ME se realiza no en las branas de frontera $E_8$, sino en un apilamiento de $n$ branas M5 ubicadas en un punto arbitrario $x_{\text{M5}}^{11}$ dentro del intervalo.
   • Tienen en cuenta la función de deformación modificada y la estructura específica de acoplamiento de gauge que surge de la teoría del volumen de mundo de la brana M5 (una SCFT $\mathcal{N}=(2,0)$ en 6d reducida a 4d).

Contribuciones y Resultados Clave

1. Restricciones en el Caso Plano ($Q=0$):
En ausencia de deformación (límites topológicamente idénticos), la relación entre las escalas de Planck y la longitud del intervalo se deriva como $M_{\text{Pl},4}^2 \propto M_{\text{Pl},11}^2 (R/\ell_{11})$. Para satisfacer el límite de desintegración del protón ($M_{\text{GUT}} \gtrsim 2 \times 10^{16}$ GeV), la masa de Planck en 11d debe ser suficientemente alta. Esto fuerza a que la longitud del intervalo sea extremadamente pequeña:
$$R \lesssim 1.4 \times 10^{-12} \, \text{GeV}^{-1} \approx 2.7 \times 10^{-28} \, \text{m}.$$
Este resultado descarta la realización de una dimensión oscura de tamaño micrométrico en el límite plano.

2. Restricciones en el Caso Deformado ($Q \neq 0$):

• $Q < 0$ (Hořava-Witten estándar): El volumen de la CY se contrae a lo largo del intervalo. La consistencia clásica requiere que el volumen no se anule, imponiendo un límite superior a $R$ incluso más estricto que en el caso plano: $R \lesssim 10^{-33}$ m.
• $Q > 0$ (ME en el límite pequeño): El volumen de la CY crece a lo largo del intervalo. Aunque esto permite un $R$ mayor clásicamente, la restricción de desintegración del protón aún impone un límite superior severo. El límite disminuye monótonamente a medida que aumenta el número de instantones adimensional $\ell_{11}Q$. Incluso en el límite $\ell_{11}Q \to 0$, el límite recupera el resultado del caso plano ($R \lesssim 2.7 \times 10^{-28}$ m).

3. Restricciones con branas M5 en el Bulk:
Cuando el ME se realiza en branas M5 en el bulk, el acoplamiento de gauge depende de la estructura compleja de la curva envuelta por las branas en lugar del volumen de la CY. Aunque esta configuración relaja el límite sobre $R$ en un par de órdenes de magnitud en comparación con el caso de frontera, el tamaño resultante sigue siendo demasiado pequeño para acomodar una dimensión oscura ($R \ll 50\,\mu\text{m}$). Los autores señalan que colocar branas M5 directamente encima de las fronteras $E_8$ conduce a transiciones de instantones pequeños, haciendo que la configuración en el bulk ($0 < x_{\text{M5}}^{11} < \pi$) sea la única opción estable considerada, la cual aún produce un $R$ despreciable.

Significado y Conclusiones

El artículo establece un límite superior robusto e independiente del modelo sobre el tamaño del intervalo de la teoría M en el contexto de la teoría M heterótica $E_8 \times E_8$:
$$R \lesssim \mathcal{O}(10^{-28}) \, \text{m}.$$

Significado:

• Exclusión de la Dimensión Oscura: Este límite indica que la undécima dimensión en las construcciones estándar de Hořava-Witten no puede servir como la "dimensión oscura" (escala de micrómetros) propuesta para explicar la constante cosmológica.
• Incompatibilidad con GUTs Estándar: Los resultados refuerzan el argumento de que si existe una dimensión extra grande, el Modelo Estándar no puede realizarse mediante teorías GUT estándar donde los bosones de gauge son partículas puntuales hasta la escala de QG.
• Escenarios Alternativos: Los autores concluyen que si se observan modificaciones a la ley del inverso del cuadrado de Newton a distancias cortas, las completaciones viables de la teoría de cuerdas/M del ME deben ser modelos de branas no unificados, o involucrar bosones de gauge de GUT realizados como cuerdas solitónicas (como se sugirió en trabajos previos [26]), o construcciones de F-teoría con 7-branas envolviendo 4-ciclos holomórficos.

Los autores enfatizan que estas conclusiones se mantienen independientemente de si el sector visible reside en el límite grande o pequeño, o si está presente la deformación. Mejoras futuras en los límites de desintegración del protón (por ejemplo, en Hyper-Kamiokande) fortalecerían estos límites en un factor $\mathcal{O}(1)$.