The doubling property of the elliptic measure, for elliptic operators with drifts satisfying an average diverging condition

Resumen Técnico: La propiedad de duplicación de la medida elíptica con derivas divergentes promediadas

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la propiedad de duplicación de la medida elíptica asociada a un operador elíptico lineal en forma de divergencia con un término de deriva, definido en un dominio de arco de cuerda de un solo lado $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$):
$$Lu = -\nabla \cdot (A\nabla u) + B \cdot \nabla u$$
El desafío central abordado es el comportamiento de la medida elíptica cuando el término de deriva $B$ satisface una condición de "pequeñez" en un sentido promediado sobre cubos de Whitney, en lugar de la condición más estricta de pequeñez puntual asumida previamente en la literatura, la cual requiere que la deriva sea pequeña sobre los cubos de Whitney. Específicamente, el artículo considera derivas que pueden divergir como la inversa de la distancia a la frontera ($\delta(x)^{-1}$) pero que satisfacen una cota promedio:
$$\int_{U_Q} |B|^2 \delta(X) \, dV \leq \beta^2 l(Q)^{n-1}$$
donde $U_Q$ es un cubo de Whitney ensanchado asociado a un cubo de la frontera $Q$, y $\beta$ es una constante pequeña. Esto generaliza resultados anteriores (por ejemplo, Hofmann-Lewis [HL01]) que requerían la estimación puntual $|B(x)| \leq \beta/\delta(x)$. El artículo también aborda la existencia de soluciones para el operador adjunto $L^*$, lo cual es necesario para establecer cotas inferiores en la función de Green.

Metodología
La estrategia de la prueba se basa en establecer dos ingredientes principales: estimaciones puntuales para la función de Green y una estimación de tipo Bourgain para la medida elíptica.

1. Existencia y Regularidad: El autor primero esboza la existencia de soluciones débiles tanto para $L$ como para su adjunto $L^*$ utilizando el lema de Lax-Milgram. Un paso crucial consiste en demostrar la coercitividad de las formas bilineales asociadas. Para el operador adjunto, se requiere una condición adicional sobre la divergencia de la deriva, $-\frac{M}{\delta(x)^2} \leq (\nabla \cdot B) \leq 0$, para asegurar la coercitividad.
2. Desigualdades de Hardy: El artículo demuestra una desigualdad de Hardy local y global en dominios de arco de cuerda de un solo lado con fronteras de regularidad de Ahlfors-David (ADR). A diferencia de derivaciones previas que dependían de versiones globales, este trabajo proporciona una prueba directa utilizando un argumento de tiempo de parada en cubos dicotómicos, lo cual se señala como una contribación novedosa a la literatura.
3. Regularidad de Hölder en la Frontera: Adaptando las técnicas de Hofmann-Lewis [HL01], el autor establece la continuidad de Hölder en la frontera para soluciones que se anulan en una bola superficial. Esto requiere manejar el término de deriva $B$ mediante una descomposición de cubos de Whitney. La prueba divide los cubos en dos categorías basadas en el soporte de una función de prueba y utiliza la condición de pequeñez promediada (Ec. 2) junto con la cota puntual (Ec. 4) para controlar el término $\int |B|^2 u^2 \psi^2$.
4. Estimaciones de la Función de Green:
   • Cotas Inferiores: Siguiendo el enfoque de Grüter y Widman [GW82], el artículo deriva cotas inferiores puntuales para la función de Green $G(x,y)$ asumiendo la existencia de la función de Green adjunta.
   • Cotas Superiores: Derivar cotas superiores es más delicado debido a la falta de pequeñez puntual. El autor emplea una descomposición de Calderón-Zygmund del término de la deriva $|B|^2$ dentro de un cubo de Whitney. Esto permite aislar un "conjunto malo" de cubos donde la deriva podría ser grande, mientras asegura que la deriva permanezca puntualmente pequeña en el "conjunto bueno". Mediante la construcción de una función de prueba soportada en el conjunto bueno y utilizando la desigualdad de Hardy global, el autor establece las cotas superiores necesarias.
5. Estimación de Bourgain y Duplicación: Combinando la regularidad de Hölder en la frontera con las estimaciones de la función de Green, el artículo deriva una estimación de tipo Bourgain (una cota inferior uniforme sobre las bolas superficiales de la medida elíptica). Finalmente, siguiendo el argumento de Aikawa [Ai06], estos ingredientes se combinan para probar la propiedad de duplicación de la medida elíptica.

Contribuciones Clave y Resultados

• Generalización de las Condiciones de la Deriva: El resultado principal (Teorema 3) establece la propiedad de duplicación de la medida elíptica bajo el supuesto de que la deriva satisface una condición de pequeñez promediada (Ec. 2), en lugar de la condición puntual (Ec. 3). Esta es una relajación significativa de las hipótesis, incluso para el semiespacio.
• Nueva Prueba de la Desigualdad de Hardy: El artículo proporciona una prueba directa de las desigualdades de Hardy local y global en dominios de arco de cuerda de un solo lado utilizando un argumento de tiempo de parada, distinto de las pruebas indirectas previas.
• Cotas de la Función de Green: El artículo establece tanto cotas superiores como inferiores puntuales para la función de Green bajo la condición de deriva promediada. La prueba de la cota superior utiliza notablemente una descomposición de Calderón-Zygmund para gestionar la falta de control puntual sobre la deriva.
• Existencia del Adjunto: El trabajo clarifica las condiciones requeridas para la existencia de soluciones a la ecuación adjunta, resaltando específicamente la necesidad de la condición de divergencia sobre $B$ para la forma bilineal del adjunto.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que estos resultados son nuevos incluso para el semiespacio, extendiendo la teoría perturbativa de la solvabilidad de Dirichlet rugosa. El trabajo se conecta con desarrollos recientes en la solvabilidad para operadores con condiciones de medida de Carleson en términos de orden inferior (por ejemplo, Hofmann-Lewis, Kenig-Pipher, y trabajos recientes del propio autor y otros).

El autor posiciona este trabajo como un paso fundacional hacia la extensión de los resultados de [HP24] (que establecieron la solvabilidad de Dirichlet en $L^p$) a operadores donde se elimina la condición de supremo dentro de la integral de la medida de Carlesón. El artículo establece explícitamente que, si bien la propiedad de duplicación se establece aquí, la adaptación completa de los métodos para probar la solvabilidad de Dirichlet bajo esta condición de medida de Carlesón más general en la deriva será objeto de trabajos futuros.

La importancia radica en la capacidad de manejar derivas que no son puntualmente pequeñas, sino que son "pequeñas en promedio", ampliando así la clase de operadores para los cuales se puede garantizar la propiedad de duplicación de la medida elíptica —y, consecuentemente, la solvabilidad de los problemas de valores en la frontera—.