The doubling property of the elliptic measure, for elliptic operators with drifts satisfying an average diverging condition

Résumé Technique : La propriété de la mesure de doublage de la mesure elliptique avec des dérives divergentes moyennées

Énoncé du Problème
Cet article étudie la propriété de la mesure de doublage associée à un opérateur elliptique $L$ sous forme de divergence avec un terme de dérive, défini sur un domaine chord-arc unilatéral $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$) :
$$Lu = -\nabla \cdot (A\nabla u) + B \cdot \nabla u$$
Le défi central abordé est le comportement de la mesure elliptique lorsque le terme de dérive $B$ satisfait une condition de « petiteur de l'ordre » dans un sens moyenné sur les cubes de Whitney, plutôt que la condition plus stricte de petiteur ponctuelle précédemment supposée dans la littérature, qui concernait la dérive. Plus précisément, l'article considère des dérives qui peuvent diverger comme l'inverse de la distance à la frontière ($\delta(x)^{-1}$) mais qui satisfont une borne moyenne :
$$\int_{U_Q} |B|^2 \delta(X) \, dV \leq \beta^2 l(Q)^{n-1}$$
où $U_Q$ est un cube de Whitney élargi associé à un cube de frontière $Q$, et $\beta$ est une petite constante. Cela généralise les résultats antérieurs (par exemple, Hofmann-Lewis [HL01]) qui exigeaient l'estimation ponctuelle $|B(x)| \leq \beta/\delta(x)$. L'article traite également de l'existence de solutions pour l'opérateur adjoint $L^*$, ce qui est nécessaire pour établir des bornes inférieures sur la fonction de Green.

Méthodologie
La stratégie de preuve repose sur l'établissement de deux ingrédients principaux : des estimations ponctuelles pour la fonction de Green et une estimation de type Bourgain pour la mesure elliptique.

1. Existence et Régularité : L'auteur expose d'abord l'existence de solutions faibles pour $L$ et son adjoint $L^*$ en utilisant le lemme de Lax-Milgram. Une étape cruciale consiste à prouver la coercivité des formes bilinéaires associées. Pour l'opérateur adjoint, une condition supplémentaire sur la divergence de la dérive, $-\frac{M}{\delta(x)^2} \leq (\nabla \cdot B) \leq 0$, est requise pour assurer la coercivité.
2. Inégalités de Hardy : L'article démontre une inégalité de Hardy locale et globale dans des domaines chord-arc unilatéraux avec des frontières de type Ahlfors-David (ADR). Contra à les dérivations précédentes qui reposaient sur des versions globales, ce travail fournit une preuve directe en utilisant un argument de temps d'arrêt sur des cubes dyadiques, ce qui est noté comme une contribution nouvelle à la littérature.
3. Régularité de Hölder à la Frontière : En adaptant les techniques de Hofmann-Lewis [HL01], l'auteur établit la continuité de Hölder à la frontière pour les solutions s'annulant sur une boule de surface. Cela nécessite de traiter le terme de dérive $B$ via une décomposition de cubes de Whitney. La preuve divise les cubes en deux catégories basées sur le support d'une fonction de test et utilise la condition de petiteur moyenne (Éq. 2) ainsi que la borne ponctuelle (Éq. 4) pour contrôler le terme $\int |B|^2 u^2 \psi^2$.
4. Estimations de la Fonction de Green :
   • Bornes Inférieures : En suivant l'approche de Grüter et Widman [GW82], l'article dérive des bornes inférieures ponctuelles pour la fonction de Green $G(x,y)$ en supposant l'existence de la fonction de Green de l'adjoint.
   • Bornes Supérieures : Dériver des bornes supérieures est plus délicat en raison de l'absence de petiteur ponctuel. L'auteur emploie une décomposition de Calderón-Zygmund du terme de dérive $|B|^2$ au sein d'un cube de Whitney. Cela permet d'isoler un « ensemble mauvais » de cubes où la dérive pourrait être grande, tout en garantissant que la dérive reste ponctuellement petite sur l'« ensemble bon ». En construisant une fonction de test supportée sur l'ensemble bon et en utilisant l'inégalité de Hardy globale, l'auteur établit les bornes supérieures nécessaires.
5. Estimation de Bourgain et Doublage : En combinant la régularité de Hölder à la frontière avec les estimations de la fonction de Green, l'article dérive une estimation de type Bourgain (une borne inférieure uniforme sur la mesure elliptique des boules de surface). Enfin, en suivant l'argument de Aikawa [Ai06], ces ingrédients sont combinés pour prouver la propriété de doublage de la mesure elliptique.

Contributions Clés et Résultats

• Généralisation des Conditions de Dérive : Le résultat principal (Théorème 3) établit la propriété de doublage de la mesure elliptique sous l'hypothèse que la dérive satisfait une condition de petiteur moyenne (Éq. 2) sur les cubes de Whitney, plutôt que la condition ponctuelle (Éq. 3). Il s'agit d'un relâchement significatif des hypothèses, même pour le demi-espace.
• Nouvelle Preuve de l'Inégalité de Hardy : L'article fournit une preuve directe des inégalités de Hardy locales et globales dans les domaines chord-arc unilatéraux en utilisant un argument de temps d'arrêt, distinct des preuves indirectes antérieures.
• Bornes de la Fonction de Green : L'article établit à la fois des bornes supérieures et inférieures ponctuelles pour la fonction de Green sous la condition de dérive moyennée. La preuve de la borne supérieure utilise notamment une décomposition de Calderón-Zygmund pour gérer l'absence de contrôle ponctuel sur la dérive.
• Existence de l'Adjoint : Le travail clarifie les conditions requises pour l'existence de solutions à l'équation de l'adjoint, soulignant spécifiquement la nécessité de la condition de divergence sur $B$ pour la forme bilinéaire de l'adjoint.

Signification et Revendications
L'article affirme que ces résultats sont nouveaux même pour le demi-espace, étendant la théorie perturbative de la solvabilité de Dirichlet rugueuse. Le travail se connecte aux développements récents concernant la solvabilité pour les opérateurs avec des conditions de mesure de Carleson sur les termes d'ordre inférieur (par exemple, Hofmann-Lewis, Kenig-Pipher, et travaux récents de l'auteur et d'autres).

L'auteur positionne ce travail comme une étape fondamentale vers l'extension des résultats de [HP24] (qui ont établi la solvabilité de Dirichlet en $L^p$) aux opérateurs où la condition de supremum au sein de l'intégrale de la mesure de Carleson est supprimée. L'article stipule explicitement que bien que la propriété de doublage soit établie ici, l'adaptation complète des méthodes pour prouver la solvabilité de Dirichlet sous cette condition de mesure de Carleson plus générale sera l'objet de travaux futurs.

La signification réside dans la capacité à traiter des dérives qui ne sont pas ponctuellement petites mais qui sont « petites en moyenne », élargissant ainsi la classe d'opérateurs pour lesquels la propriété de doublage de la mesure elliptique — et par conséquent la solvabilité des problèmes de valeurs limites — peut être garantie.