Decoupling local classicality from classical explainability: A noncontextual model for bilocal classical theory and a locally-classical but contextual theory

Resumen Técnico: Desacoplamiento de la Clasicalidad Local de la Explicabilidad Clásica

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la relación entre dos nociones distintas de "clasicalidad" dentro del marco de las Teorías Probabilísticas Operacionales (OPT): la clasicalidad local y la explicabilidad clásica.

• Clasicalidad Local: Una teoría es localmente clásica si cada sistema individual dentro de ella es clásico (es decir, su espacio de estados es un simplex y satisface la hipótesis de no restricción), incluso si la regla para componer estos sistemas difiere de la teoría clásica estándar.
• Explicabilidad Clásica: Una teoría es clásicamente explicable si admite un modelo ontológico. Esto se define como un mapa lineal, preservador de diagramas y preservador de la determinación, desde la teoría en cuestión hacia la Teoría Clásica (CT) estándar. Este concepto es equivalente a que la teoría sea generalizada no contextual.

Surge una pregunta central: ¿Toda teoría localmente clásica admite un modelo ontológico? Trabajos previos sobre la Teoría Clásica Bilocal (BCT) [1] sugirieron que, debido a que la BCT viola la tomografía local (el principio de que los estados compuestos están totalmente determinados por las mediciones locales), podría no admitir un modelo ontológico de realismo local. Por el contrario, otras construcciones de teorías localmente clásicas podrían ser inherentemente incapaces de ser clásicamente explicables. El artículo tiene como objetivo desacoplar estos conceptos mediante la construcción de modelos explícitos y contraejemplos.

Metodología
Los autores emplean el formalismo de las OPT y el marco de los modelos ontológicos tal como se definen en las Refs. [2, 6]. La metodología involucra dos construcciones primarias:

1. Construcción de un Modelo Ontológico para la BCT:

   • Los autores definen un mapa lineal $\tilde{\xi}$ desde la BCT hacia la Teoría Clásica estándar ($\Delta$).
   • Mapeo de Sistemas: Un sistema no trivial $n$ en la BCT se mapea a un sistema clásico de dimensión $2n$ (específicamente, un producto tensorial de un espacio de dimensión $n$ y un espacio binario).
   • Mapeo de Estados/Efectos: Los estados puros y los efectos en la BCT, que involucran variables binarias ($s \in \{0,1\}$) junto con índices estándar, se mapean a estados/efectos clásicos utilizando compuertas de "copia" y "NOT controlada" (CNOT) en los subespacios binarios.
   • Mapeo de Transformaciones: Las transformaciones atómicas en la BCT se mapean a matrices subestocásticas en la teoría clásica, preservando la estructura específica de la regla de composición de la BCT (que implica un "giro" de los índices mediante la variable binaria).
   • Verificaciones de Consistencia: Los autores verifican rigurosamente que este mapa satisface las propiedades requeridas: linealidad, preservación de diagramas (preservando la composición secuencial y paralela, la identidad y el intercambio/swap) y preservación de la determinación (mapeando transformaciones deterministas a deterministas).

2. Construcción de un Contraejemplo (Teorías Clásicas Latentes - LCTs):

   • Los autores utilizan la construcción de "teoría latente" de la Ref. [76], adaptada a sistemas clásicos.
   • Definición: Las LCTs se definen por una regla de composición donde el compuesto de dos sistemas $C_1$ y $C_2$ incluye un factor de espacio latente adicional $L_{12}$ (es decir, $C_1 \otimes C_2 = L_{12} \otimes C_1 \otimes C_2$).
   • Condición: El estado latente $|\kappa\rangle_{L_{12}}$ se elige para que no sea de rango completo (no abarque todo el espacio latente).
   • Prueba de No Existencia: Los autores prueban que si el estado latente no es de rango completo, existe un efecto bipartito no nulo que aniquila cada estado producto. Demuestran que ningún modelo ontológico puede existir para tal teoría porque la propiedad de preservación de diagramas requeriría que este efecto se mapee a un efecto nulo en la teoría clásica, lo cual contradice la preservación de probabilidad del efecto no nulo en un estado compuesto específico.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Existencia de un Modelo Ontológico para la BCT (Teorema 2.3):
   El artículo construye el primer modelo ontológico para una teoría completa que falla en ser localmente tomográfica. Este resultado refuta la conjetura en la Ref. [1] de que la BCT podría carecer de un modelo ontológico de realismo local.

   • Implicación: El fallo de la tomografía local no excluye necesariamente la explicabilidad clásica. Los grados de libertad no localmente tomográficos en la BCT pueden explicarse mediante la adición de estados onticos extra localmente.

2. No Existencia de Modelos Ontológicos para las LCTs (Teorema 3.2):
   El artículo prueba que las Teorías Clásicas Latentes con estados latentes de rango no completo no admiten ningún modelo ontológico.

   • Implicación: No toda teoría localmente clásica es clásicamente explicable. Existe una tensión fundamental entre ciertas reglas de composición (específicamente aquellas que permiten violaciones fuertes de la tomografía local) y la existencia de un modelo de variables ocultas no contextual.

3. Desacoplamiento de Conceptos:
   Los resultados demuestran que la clasicalidad local y la explicabilidad clásica son propiedades independientes. Una teoría puede ser localmente clásica pero no clásicamente explicable (LCTs), o localmente clásica y clásicamente explicable a pesar de fallar en la tomografía local (BCT).

Significado y Reivindicaciones
El artículo sostiene que estos hallazgos tienen implicaciones significativas para la comprensión fundamental de la classicalidad:

• Limitación de los Teoremas de Estructura: El resultado muestra que el supuesto de la tomografía local, que sustenta el teorema de estructura para modelos no contextuales generalizados en la Ref. [2], es una limitación genuina de dicho teorema. El teorema no se sostiene para teorías que violan la tomografía local, incluso si son localmente clásicas.
• Las Propiedades Composicionales son Centrales: Los autores argumentan que la forma en que los sistemas se componen (la regla de composición) no es un asunto técnico secundario, sino una cuestión central e inevitable para comprender la classicalidad. La distinción entre teorías que son localmente clásicas pero globalmente no clásicas (en el sentido de la explicabilidad) resalta la importancia de la estructura composicional.
• Clarificación de la Classicalidad: El artículo proporciona un ejemplo concreto (BCT) donde una teoría se entiende de manera más simple a través de su modelo ontológico subyacente que mediante su formulación operacional original, de forma similar a cómo la teoría de juguete de Spekkens clarifica las subteorías de estabilizadores de dimensiones impares.
• Sin Relación Directa: Los hallazgos establecen que no existe una relación directa entre que una teoría sea localmente clásica y que sea clásicamente explicable. Se sugiere que el trabajo futuro debe encontrar principios físicos que distingan qué teorías localmente clásicas admiten modelos ontológicos.

El artículo concluye que el estatus de las propiedades composicionales es fundamental para una comprensión coherente de la classicalidad misma, yendo más allá de la visión tradicional de que la tomografía local es una condición necesaria para la explicabilidad clásica.