Decoupling local classicality from classical explainability: A noncontextual model for bilocal classical theory and a locally-classical but contextual theory

Technische Samenvatting: Ontkoppeling van Lokale Klassiekeigenschappen van Klassieke Verklaarbaarheid

Probleemstelling
Het artikel behandelt de relatie tussen twee verschillende begrippen van "klassieke eigenschappen" binnen het kader van Operationele Probabilistische Theorieën (OPT's): lokale klassieke eigenschappen en klassieke verklaarbaarheid.

• Lokale Klassieke Eigenschappen: Een theorie is lokaal klassiek als elk individueel systeem binnen deze theorie klassiek is (dat wil zeggen: de toestandsruimte is een simplex en het voldoet aan de no-restrictie hypothese), zelfs als de regel voor het samenstellen van deze systemen verschilt van de standaard klassieke theorie.
• Klassieke Verklaarbaarheid: Een theorie is klassiek verklaarbaar als deze een ontologisch model toelaat. Dit wordt gedefinieerd als een lineaire, diagram-behoudende en determiniteits-behoudende afbeelding van de theorie naar de standaard Klassieke Theorie (KT). Dit concept is equivalent aan het feit dat de theorie gegeneraliseerd niet-contextueel is.

Een centrale vraag rijst: Admitteert elke lokaal klassieke theorie een ontologisch model? Vorig werk over Bilokale Klassieke Theorie (BCT) [1] suggereerde dat omdat BCT lokale tomografie schendt (het principe dat samengestelde toestanden volledig worden bepaald door lokale metingen), het mogelijk geen lokaal-realistisch ontologisch model toelaat. Daarentegen zouden andere constructies van lokaal klassieke theorieën inherent kunnen falen om klassiek verklaarbaar te zijn. Het artikel beoogt deze concepten te ontkoppelen door expliciete modellen en tegenvoorbeelden te construeren.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van het formalisme van OPT's en het kader van ontologische modellen zoals gedefinieerd in Refs. [2, 6]. De methodologie omvat twee primaire constructies:

1. Constructie van een Ontologisch Model voor BCT:

   • De auteurs definiëren een lineaire afbeelding $\tilde{\xi}$ van BCT naar de standaard Klassieke Theorie ($\Delta$).
   • Systeem Mapping: Een niet-triviaal systeem $n$ in BCT wordt gemapt naar een klassiek systeem van dimensie $2n$ (specifiek, een tensorproduct van een $n$-dimensionale ruimte en een binaire ruimte).
   • Toestand/Effect Mapping: Zuivere toestanden en effecten in BCT, die binaire variabelen ($s \in \{0,1\}$) naast standaardindices bevatten, worden gemapt naar klassieke toestanden/effecten met behulp van "copy" en "controlled-NOT" (CNOT) poorten op de binaire subruimten.
   • Transformatie Mapping: Atomaire transformaties in BCT worden gemapt naar substochastische matrices in de klassieke theorie, waarbij de specifieke structuur van de BCT-compositieregel (die een "twisting" van indices via de binaire variabele omvat) behouden blijft.
   • Consistentiecontroles: De auteurs verifiëren rigoureus dat deze afbeelding voldoet aan de vereiste eigenschappen: lineariteit, diagram-behoud (het behoud van sequentiële en parallelle compositie, identiteit en swap) en determiniteits-behoud (het mappen van deterministische transformaties naar deterministische transformaties).

2. Constructie van een Tegenvoorbeeld (Latente Klassieke Theorieën - LCT's):

   • De auteurs maken gebruik van de "latente theorie" constructie uit Ref. [76], aangepast aan klassieke systemen.
   • Definitie: LCT's worden gedefinieerd door een compositieregel waarbij het samengestelde van twee systemen $C_1$ en $C_2$ een extra "latente" factorruimte $L_{12}$ bevat (d.w.z. $C_1 \otimes C_2 = L_{12} \otimes C_1 \otimes C_2$).
   • Conditie: De latente toestand $|\kappa\rangle_{L_{12}}$ wordt gekozen als niet-full-rank (niet de volledige latente ruimte bespannend).
   • Bewijs van Niet-bestaan: De auteurs bewijzen dat als de latente toestand niet full-rank is, er een niet-nul bipartiet effect bestaat dat elk product-toestand annihileert. Zij demonstreren dat geen enkel ontologisch model kan bestaan voor een dergelijke theorie, omdat de diagram-behoudende eigenschap van de afbeelding zou vereisen dat dit effect naar een nul-effect in de klassieke theorie wordt gemapt, wat in strijd is met de waarschijnlijkheidsbehoud van het niet-nul effect op een specifieke samengestelde toestand.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Bestaan van een Ontologisch Model voor BCT (Theorem 2.3):
   Het artikel construeert het eerste ontologische model voor een volledige theorie die faalt in lokale tomografie. Dit resultaat weerlegt de conjectuur in Ref. [1] dat BCT mogelijk geen lokaal-realistisch ontologisch model heeft.

   • Implicatie: Het falen van lokale tomografie sluit klassieke verklaarbaarheid niet noodzakelijkerwijs uit. De niet-lokaal tomografische vrijheidsgraden in BCT kunnen worden verklaard door extra ontische toestanden lokaal toe te voegen.

2. Niet-bestaan van Ontologische Modellen voor LCT's (Theorem 3.2):
   Het artikel bewijst dat Latente Klassieke Theorieën met niet-full-rank latente toestanden geen ontologisch model toelaten.

   • Implicatie: Niet elke lokaal klassieke theorie is klassiek verklaarbaar. Er bestaat een fundamentele spanning tussen bepaalde compositieregels (specifiek die welke sterke schendingen van lokale tomografie toestaan) en het bestaan van een niet-contextueel verborgen-variabelen model.

3. Ontkoppeling van Concepten:
   De resultaten tonen aan dat lokale klassieke eigenschappen en klassieke verklaarbaarheid onafhankelijke eigenschappen zijn. Een theorie kan lokaal klassiek zijn maar niet klassiek verklaarbaar (LCT's), of lokaal klassiek en klassiek verklaarbaar ondanks het falen van lokale tomografie (BCT).

Betekenis en Claims
Het artikel beweert dat deze bevindingen significante implicaties hebben voor het fundamentele begrip van klassieke eigenschappen:

• Beperking van Structuurtheorema's: Het resultaat laat zien dat de aanname van lokale tomografie, die de structuurtheorema voor gegeneraliseerde niet-contextuele modellen in Ref. [2] onderbouwt, een werkelijke beperking is van dat theorema. Het theorema geldt niet voor theorieën die lokale tomografie schenden, zelfs als ze lokaal klassiek zijn.
• Compositiële Eigenschappen zijn Centraal: De auteurs betogen dat de manier waarop systemen componeren (de compositieregel) geen technische bijzaak is, maar een centrale, onvermijdelijke vraag voor het begrijpen van klassieke eigenschappen. Het onderscheid tussen theorieën die lokaal klassiek zijn maar globaal niet-klassiek (in de zin van verklaarbaarheid), benadrukt het belang van de compositionele structuur.
• Verduidelijking van Klassieke Eigenschappen: Het artikel biedt een concreet voorbeeld (BCT) waar een theorie eenvoudiger te begrijpen is via haar onderliggende ontologische model dan via haar oorspronkelijke operationele formulering, vergelijkbaar met hoe Spekkens' toy theory de vreemde dimensie-stabilizer subtheorieën verheldert.
• Geen Eenvoudige Relatie: De bevindingen stellen vast dat er geen rechtstreeks verband bestaat tussen het lokaal klassiek zijn van een theorie en het klassiek verklaarbaar zijn van die theorie. Toekomstig werk wordt gesuggereerd om fysieke principes te vinden die onderscheiden welke lokaal klassieke theorieën ontologische modellen toelaten.

Het artikel concludeert dat de status van compositionele eigenschappen fundamenteel is voor een coherent begrip van klassieke eigenschappen, waarbij de traditionele visie dat lokale tomografie een noodzakelijke voorwaarde is voor klassieke verklaarbaarheid, wordt overstegen.