Decoupling local classicality from classical explainability: A noncontextual model for bilocal classical theory and a locally-classical but contextual theory

技術的要約：局所的な古典性と古典的な説明可能性のデカップリング（分離）

問題提起
本論文は、操作的確率論（OPT）の枠組みにおける2つの異なる「古典性」の概念、すなわち**局所的な古典性（local classicality）と古典的な説明可能性（classical explainability）**の関係を取り扱う。

• 局所的な古典性： 理論が局所的に古典的であるとは、その理論内の個々のシステムが古典的である（すなわち、状態空間が単体であり、無制限仮説を満たしている）ことを指す。ただし、これらのシステムを合成する規則は標準的な古典理論とは異なる場合がある。
• 古典的な説明可能性： 理論が古典的に説明可能であるとは、それが**存在論的モデル（ontological model）を許容することを指す。これは、標準的な古典理論（CT）への、線形、図式保存、および決定性保存の写像として定義される。この概念は、その理論が一般化された非文脈的（generalized noncontextual）**であることと同値である。

中心となる問いは、「すべての局所的に古典的な理論は、存在論的モデルを許容するか？」というものである。先行研究である二局所古典理論（BCT） [1] では、BCTが局所的なトモグラフィー（複合状態が局所的な測定によって完全に決定されるという原理）に違反しているため、局所実在論的な存在論的モデルを持たないのではないかという示唆があった。逆に、局所的に古典的な理論の他の構成例は、本質的に古典的な説明可能性を欠く可能性がある。本論文は、明示的なモデルと反例を構築することで、これらの概念を切り離すことを目的としている。

手法
著者らは、OPTの形式体系および文献 [2, 6] で定義された存在論的モデルの枠組みを採用している。手法には主に2つの構成が含まれる。

1. BCTに対する存在論的モデルの構築：

   • 著者らは、BCTから標準的な古典理論（$\Delta$）への線形写像 $\tilde{\xi}$ を定義する。
   • システムのマッピング： BCTにおける非自明なシステム $n$ は、次元 $2n$ の古典的システム（具体的には、$n$ 次元の空間とバイナリ空間のテンソル積）に写像される。
   • 状態／効果のマッピング： バイナリ変数（$s \in \{0,1\}$）と標準的なインデックスを伴うBCTの純粋状態および効果は、「コピー」および「制御NOT（CNOT）」ゲートを用いて、古典的な状態／効果へと写像される。
   • 変換のマッピング： BCTにおける原子的な変換は、BCTの合成規則（バイナリ変数によるインデックスの「ねじれ」を含む）を保存するように、古典理論における劣確率行列へと写像される。
   • 整合性チェック： 著者らは、この写像が、線形性、図式保存（逐次および並列合成、恒等写像、スワップの保存）、および決定性保存（決定的な変換を決定的なものへ写像すること）の要件を満たすことを厳密に検証している。

2. 反例の構築（潜在的古典理論 - LCTs）：

   • 著者らは、古典的システムに適応させた文献 [76] の「潜在理論（latent theory）」の構成を利用する。
   • 定義： LCTは、2つのシステムの合成 $C_1 \otimes C_2$ に、追加の「潜在的」因子空間 $L_{12}$ が含まれる（すなわち、$C_1 \otimes C_2 = L_{12} \otimes C_1 \otimes C_2$）合成規則によって定義される。
   • 条件： 潜在状態 $|\kappa\rangle_{L_{12}}$ は、非フルランク（潜在空間全体をスパンしない）として選択される。
   • 非存在の証明： 潜在状態がフルランクでない場合、あらゆる積状態を消滅させる非ゼロの二部系効果が存在することを著者らは証明している。彼らは、図式保存の性質により、この効果が古典理論におけるゼロの効果に写像されなければならないことを示し、これが特定の複合状態における非ゼロの効果の確率保存と矛盾するため、このような理論に対して存在論的モデルは存在し得ないことを証明している。

主要な貢献と結果

1. BCTの存在論的モデルの存在（定理 2.3）：
   本論文は、局所トモグラフィーに失敗している理論全体に対する最初の存在論的モデルを構築した。この結果は、BCTが局所実在論的な存在論的モデルを持たないかもしれないとした文献 [1] の予想を覆すものである。

   • 含意： 局所トモグラフィーの失敗は、必ずしも古典的な説明可能性を排除するものではない。BCTにおける非局所トモグラフィー的な自由度は、局所的に追加のオンティック状態を付加することで説明可能である。

2. LCTに対する存在論的モデルの非存在（定理 3.2）：
   著者らは、非フルランクの潜在状態を持つ**潜在的古典理論（Latent Classical Theories）**は、いかなる存在論的モデルも許容しないことを証明した。

   • 含意： すべての局所的に古典的な理論が、古典的に説明可能であるわけではない。特定の合成規則（特に強い局所トモグラフィーの違反を許容するもの）と、非文脈的な隠れた変数モデルの存在との間には、根本的な緊張関係が存在する。

3. 概念のデカップリング（分離）：
   これらの結果は、局所的な古典性と古典的な説明可能性が独立した特性であることを示している。ある理論は局所的に古典的であるが古典的に説明可能ではない（LCT）こともあれば、局所トモグラフィーに失敗しているにもかかわらず局所的に古典的かつ古典的に説明可能である（BCT）こともある。

意義と主張
本論文は、これらの知見が古典性の基礎的な理解に重要な意味を持つと主張している。

• 構造定理の限界： この結果は、文献 [2] における一般化された非文脈的モデルの構造定理を支えている「局所トモグラフィー」の仮定が、正当な制限であることを示している。この定理は、局所的に古典的であっても、局所トモグラフィーに違反する理論には適用されない。
• 合成的性質の重要性： 著者らは、システムがどのように合成されるか（合成規則）は、単なる技術的な付随事項ではなく、古典性を理解するための中心的かつ不可避な問いであると主張している。局所的に古典的でありながらグローバルに非古典的（説明可能性の意味において）である理論の区別は、合成構造の重要性を浮き彫りにしている。
• 古典性の明確化： 本論文は、Spekkensのトイ理論が奇数次元のスタビライザー部分理論を明確にするのと同様に、その背後にある存在論的モデルを通じて、元の操作的な定式化よりも単純に理解できるBCTの具体的な例を提供している。
• 直接的な関係の不在： これらの知見は、ある理論が局所的に古典的であることと、それが古典的に説明可能であることの間に、直接的な関係は存在しないことを確立している。どの局所的に古典的な理論が存在論的モデルを許容するかを区別するための物理的原理を見出すことが、今後の課題として示唆されている。

本論文は、合成的性質の状態が、局所トモグラフィーを古典的な説明可能性の必要条件とする従来の視点を超え、古典性そのものの整合的な理解にとって根源的な問題であると結論付けている。