A constant rank theorem for linear elliptic equations on the sphere with applications to the mixed Christoffel problem

1. Introducción y Contexto del Problema

El artículo aborda el Problema de Christoffel Mixto, una generalización del clásico problema de Christoffel en la geometría convexa. El objetivo central es encontrar un cuerpo convexo $\Omega$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ tal que su medida de área mixta $S(\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}, \Omega; \cdot)$ coincida con una medida de Borel prescrita $\mu$ sobre la esfera unidad $S^n$.

• Antecedentes:
  • El Problema de Minkowski (prescribir la medida de área $S_n$) está bien planteado con condiciones de existencia y unicidad conocidas.
  • El Problema de Christoffel (prescribir la medida de área de primer orden $S_1$) es más delicado; las condiciones de existencia son difíciles de verificar en la práctica.
  • El Problema de Christoffel-Minkowski (medidas de orden intermedio $S_k$) es aún más complejo.
• El Problema Mixto: Se estudia el caso donde se tienen $n-1$ cuerpos convexos fijos $\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}$ y se busca un $\Omega$ tal que:
  $$S(\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}, \Omega; \cdot) = \mu(\cdot)$$
  Si todos los $\Omega_i$ son la bola unidad, se recupera el problema de Christoffel estándar.

2. Formulación en Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

Bajo supuestos de regularidad ($C^{2,+}$ para los cuerpos), las medidas de área mixta admiten una densidad respecto a la medida de Hausdorff en la esfera. Esto permite reducir el problema geométrico a una EDP lineal de segundo orden en $S^n$.

• Función de Soporte: Sea $u$ la función de soporte del cuerpo buscado $\Omega$.
• Forma de Weingarten Inversa: Se define el tensor $W = (u_{ij} + u\delta_{ij})$, donde $u_{ij}$ son las derivadas covariantes segundas. La condición de que $\Omega$ sea un cuerpo convexo $C^{2,+}$ equivale a que $W$ sea definido positivo ($W > 0$).
• La EDP: La ecuación que gobierna el problema es:
  $$\sum_{\alpha, \beta=1}^n a_{\alpha\beta}(x) (u_{\alpha\beta}(x) + \delta_{\alpha\beta}u(x)) = f(x)$$
  donde $(a_{\alpha\beta})$ es la matriz cofactor mixta de los tensores de Weingarten inversos de los cuerpos dados $\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}$, y $f$ es la densidad de la medida $\mu$.
• Desafío Principal: La teoría estándar de EDP elípticas garantiza la existencia de una solución $u$, pero no garantiza que esta solución sea geométrica (es decir, que $W > 0$). El objetivo es asegurar que la solución preserve la convexidad.

3. Metodología: El Teorema de Rango Constante

La contribución central del artículo es el desarrollo y aplicación de un Teorema de Rango Constante para la ecuación lineal elíptica mencionada.

• Idea Central: Si se puede demostrar que el rango del tensor $W$ es constante en el dominio, y dado que $W \geq 0$ (condición necesaria inicial), entonces bajo ciertas condiciones de convexidad en los datos, se puede probar que el rango es máximo (es decir, $W > 0$).
• Función de Prueba:
  • Para $n=2$: Se utiliza el determinante de $W$ ($\phi = \det(W)$).
  • Para $n \geq 3$: Se utiliza una función de prueba más sofisticada basada en funciones simétricas elementales de los valores propios de $W$:
    $$\phi(x) = \sigma_{l+1}(W) + \frac{\sigma_{l+2}(W)}{\sigma_{l+1}(W)}$$
    donde $l$ es el rango mínimo asumido.
• Mecanismo de Prueba:
  1. Se asume que el rango mínimo de $W$ es $l < n$.
  2. Se deriva una desigualdad diferencial para la función de prueba $\phi$ utilizando la ecuación original y fórmulas de Codazzi.
  3. Se demuestra que, bajo ciertas condiciones de convexidad en los datos, se cumple una desigualdad del tipo $\mathcal{L}\phi \leq C(\phi + |\nabla \phi|)$.
  4. Aplicando el Principio del Mínimo Fuerte, se concluye que $\phi \equiv 0$, lo que implica que el rango es constante e igual a $l$.
  5. Mediante argumentos de identidad de Minkowski y contradicción, se prueba que si el dominio es la esfera completa $S^n$, el rango debe ser máximo ($l=n$), garantizando así que $W > 0$.

4. Resultados Principales

Los autores establecen condiciones suficientes para que la solución de la EDP sea geométrica, diferenciando entre dimensiones bajas y altas.

A. Caso General ($n \geq 3$) - Teorema 1.1 y Corolario 1.6

Se establece una condición de convexidad sobre los datos que garantiza el rango constante.

• Condición Suficiente: Sea $A$ la matriz de coeficientes y $f$ la densidad. Se requiere que para una homotopía $A_t = (1-t)I + tA$, la siguiente condición de convexidad se cumpla para todo $t \in [0,1]$:
  $$\left( \delta_{ij} + \frac{\nabla_i \nabla_j (a_{qq}/f)}{a_{qq}/f} + \dots \right) \geq 0$$
  (Incluye términos de segundas derivadas y productos de gradientes de los coeficientes).
• Resultado: Si se cumple esta condición y $f > 0$, existe un cuerpo convexo único (salvo traslaciones) que resuelve el problema mixto.

B. Caso Tridimensional ($n = 2$) - Teoremas 1.2, 1.4 y 1.5

En dimensión 3 (esfera $S^2$), las condiciones se simplifican significativamente.

• Teorema 1.2: Si la extensión 1-homogénea del tensor $A/f$ es convexa en el cono generado por $S^2$, entonces el rango es constante.
• Teorema 1.4: Proporciona una condición explícita en términos de la función de soporte $h$ del cuerpo dado $\Omega_0$ y la densidad $f$:
  $$\left( \frac{h_{\alpha\alpha} + h}{f} \right)_{\alpha\alpha} + \frac{h_{\alpha\alpha} + h}{f} \geq 0$$
  para toda dirección tangencial $\alpha$.
• Teorema 1.5: Una condición alternativa basada en la convexidad de la extensión 1-homogénea de la matriz $W_0/f$, donde $W_0$ es el tensor de Weingarten del cuerpo dado.

5. Contribuciones Clave y Significado

1. Generalización del Problema de Christoffel: El trabajo extiende los resultados conocidos del problema de Christoffel estándar (donde los cuerpos dados son bolas) al caso mixto, donde los cuerpos dados pueden ser arbitrarios (pero suficientemente regulares).
2. Nuevo Teorema de Rango Constante: Se desarrolla una versión adaptada de los teoremas de rango constante (típicamente usados en ecuaciones no lineales como Monge-Ampère) para ecuaciones lineales elípticas con coeficientes variables dependientes de la geometría de otros cuerpos.
3. Condiciones Verificables: Se proporcionan condiciones explícitas sobre la densidad $f$ y la geometría de los cuerpos dados $\Omega_i$ que aseguran la existencia de una solución convexa. Esto es crucial porque, en general, la existencia de una solución a la EDP no implica la convexidad de la misma.
4. Tratamiento Diferenciado por Dimensión: El artículo reconoce y explota la diferencia técnica entre el caso $n=2$ (donde las condiciones son más simples y lineales en la matriz de coeficientes) y $n \geq 3$ (donde la no linealidad de la condición de convexidad requiere un argumento de homotopía más restrictivo).
5. Aplicabilidad: Los resultados se aplican directamente para resolver el problema de Christoffel mixto bajo supuestos de regularidad $C^{4,\gamma}$, llenando un vacío en la literatura sobre medidas de área mixtas y problemas de curvatura prescripta.

Conclusión

El artículo demuestra que, bajo condiciones de convexidad adecuadas en los datos del problema (relacionadas con la extensión homogénea de los coeficientes y la densidad), la solución a la ecuación elíptica lineal asociada al problema de Christoffel mixto preserva la estructura geométrica de convexidad. Esto se logra mediante un sofisticado análisis de rango constante, proporcionando una herramienta poderosa para la existencia y unicidad de cuerpos convexos con medidas de área mixtas prescritas.