A constant rank theorem for linear elliptic equations on the sphere with applications to the mixed Christoffel problem

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse au problème de Christoffel mixte pour les corps convexes dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^{n+1}$. Ce problème vise à trouver un corps convexe $\Omega$ dont la mesure d'aire mixte, associée à des corps convexes donnés $\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}$, coïncide avec une mesure de Borel prescrite $\mu$ sur la sphère unité $S^n$.

Mathématiquement, on cherche $\Omega$ tel que :
$$S(\Omega_1, \dots, \Omega_{n-1}, \Omega; \cdot) = \mu(\cdot)$$
où $S$ désigne la mesure d'aire mixte.

Contexte mathématique :

• Sous des hypothèses de régularité ($C^{2,+}$), la densité de cette mesure par rapport à la mesure de Hausdorff sur $S^n$ s'exprime via le discriminant mixte $D$ appliqué aux formes de Weingarten inverses $W_i$ des corps $\Omega_i$.
• Si $u$ est la fonction de support du corps inconnu $\Omega$, et $W = (u_{ij} + u\delta_{ij})$ sa forme de Weingarten inverse, le problème se réduit à résoudre une équation aux dérivées partielles (EDP) linéaire du second ordre sur la sphère :
  $$\sum_{\alpha,\beta=1}^n a_{\alpha\beta}(x) (u_{\alpha\beta}(x) + \delta_{\alpha\beta}u(x)) = f(x)$$
  où $(a_{\alpha\beta})$ est la matrice cofacteur mixte des formes de Weingarten des corps donnés, et $f$ est la densité de $\mu$.
• Le défi principal : L'existence d'une solution $u$ à cette EDP est garantie par la théorie classique des EDP elliptiques. Cependant, pour que $u$ corresponde géométriquement à un corps convexe (c'est-à-dire que la matrice $W$ soit définie positive, $W > 0$), il faut établir des conditions suffisantes garantissant cette positivité stricte. C'est là que réside la difficulté du problème de Christoffel par rapport au problème de Minkowski.

2. Méthodologie

L'approche centrale de l'article repose sur un théorème de rang constant (Constant Rank Theorem), une technique puissante développée initialement pour les équations de Monge-Ampère et adaptée ici aux équations linéaires elliptiques sur la sphère.

Stratégie de preuve :

1. Hypothèse de départ : On suppose qu'une solution $u$ existe et que sa forme de Weingarten $W$ est semi-définie positive ($W \ge 0$).
2. Fonction de test : L'objectif est de prouver que si le rang de $W$ n'est pas maximal en un point, il ne peut pas être maximal en aucun point (ou inversement, qu'il est constant). Pour cela, les auteurs introduisent une fonction de test $\phi$ construite à partir des fonctions symétriques élémentaires des valeurs propres de $W$.
   • Pour $n=2$, $\phi = \det(W)$.
   • Pour $n \ge 3$, $\phi = \sigma_{l+1}(W) + \frac{\sigma_{l+2}(W)}{\sigma_{l+1}(W)}$, où $l$ est le rang minimal supposé.
3. Inégalité différentielle : En utilisant les formules de Codazzi et les propriétés de l'opérateur elliptique, les auteurs dérivent une inégalité différentielle pour $\phi$ de la forme :
   $$\sum a_{\alpha\beta} \phi_{\alpha\beta} \le C(\phi + |\nabla \phi|)$$
   sous certaines conditions de convexité sur les coefficients.
4. Principe du minimum fort : Si l'inégalité est vérifiée et que $\phi$ atteint son minimum (qui est 0 si le rang n'est pas maximal), le principe du minimum fort implique que $\phi \equiv 0$. Cela force le rang de $W$ à être constant.
5. Argument de continuité : Une fois le théorème de rang constant établi, on utilise une méthode d'homotopie (continuité) pour connecter le problème donné à un problème plus simple (généralement le cas où les corps donnés sont des boules unitaires, c'est-à-dire le problème de Christoffel classique) dont la solution est connue pour être géométrique.

3. Résultats Clés et Contributions

Les auteurs établissent des conditions suffisantes pour que la solution de l'EDP soit une fonction de support d'un corps convexe $C^{2,+}$.

A. Théorème de Rang Constant (Théorème 1.1)

C'est le résultat central. Il stipule que si $u$ est une solution de l'équation linéaire avec $W \ge 0$, alors $W$ a un rang constant sur le domaine connexe $D$. Si $D = S^n$, alors $W$ est de rang maximal ($W > 0$), garantissant ainsi que $u$ est une solution géométrique.

Condition technique : La validité du théorème dépend d'une condition de convexité sur les coefficients de l'équation. Pour $n \ge 3$, cette condition (15) est une inégalité matricielle complexe impliquant les dérivées covariantes de la matrice des coefficients $A$ et de la fonction source $f$.

B. Cas de Dimension 2 ($n=2$, espace $\mathbb{R}^3$)

Pour la dimension 2, les conditions se simplifient considérablement (Théorème 1.2 et 1.4).

• La condition de rang constant se réduit à la convexité locale de l'extension 1-homogène du tenseur $A/f$ dans le cône associé à la sphère.
• Cela permet d'obtenir des critères d'existence très explicites (Théorème 1.4 et 1.5), notamment lorsque la fonction de support du corps de référence $\Omega_0$ et la densité $f$ satisfont des inégalités de convexité spécifiques.

C. Résolution du Problème de Christoffel Mixte (Théorème 1.3)

En combinant le théorème de rang constant avec l'argument de continuité, les auteurs prouvent l'existence et l'unicité (à une translation près) d'un corps convexe $\Omega$ résolvant le problème mixte, sous réserve que :

1. La condition de compatibilité $\int_{S^n} x f(x) dx = 0$ soit satisfaite.
2. Une condition de convexité (généralisation de la condition (8) de Guan-Ma pour le cas classique) soit vérifiée pour une famille d'interpolation entre la matrice identité et la matrice cofacteur mixte $A$.

4. Signification et Impact

• Généralisation : Ce travail généralise les résultats connus sur le problème de Christoffel (cas où tous les $\Omega_i$ sont des boules) au cas mixte, où les corps de référence sont arbitraires (mais réguliers).
• Outils Nouveaux : L'article fournit un cadre robuste pour traiter les équations linéaires elliptiques sur la sphère avec des coefficients dépendant de la géométrie du problème, en adaptant la méthode de rang constant à ce contexte spécifique.
• Applications : Les résultats ouvrent la voie à l'étude de problèmes géométriques plus complexes liés aux mesures d'aire mixtes, avec des applications potentielles en géométrie convexe, en théorie du transport optimal et en analyse géométrique.
• Distinction Dimensionnelle : L'article met en lumière la différence fondamentale entre le cas $n=2$ (où les conditions sont plus simples et liées à la convexité matricielle directe) et $n \ge 3$ (où la non-linéarité de la condition de rang constant impose des hypothèses plus restrictives sur l'homotopie des coefficients).

En résumé, cet article établit des conditions suffisantes rigoureuses pour la résolubilité géométrique du problème de Christoffel mixte, en démontrant que sous des hypothèses de convexité appropriées sur les données, la solution de l'EDP associée préserve la structure convexe requise.