Long-term behavior of casino games

Resumen Técnico: Comportamiento a largo plazo de los juegos de casino

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el comportamiento asintótico de la relación entre el retorno total (o beneficio total) y la cantidad total apostada en los juegos de casino. Si bien la ley fuerte de los grandes números garantiza que esta relación converge casi seguramente al Retorno al Jugador (RTP) o a la Ventaja de la Casa (HA) negativa cuando las apuestas son independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), este supuesto falla al intentar modelar escenarios de casino realistas. En la práctica, los tamaños de las apuestas suelen variar en el tiempo y pueden depender de resultados pasados (por ejemplo, sistemas de apuestas), y los juegos pueden involucrar estructuras compuestas (múltiples apuestas por ronda) o dependencia futura (apuestas resueltas a lo largo de varios giros o lanzamientos, como en el craps o la ruleta con la regla de en prison). Los autores buscan un marco general para determinar los límites a largo plazo de estas relaciones bajo condiciones más realistas y no i.i.d., basándose únicamente en los parámetros intrínsecos del juego.

Metodología
Los autores establecen un marco probabilístico general basado en una secuencia de apuestas $(B_n, R_n, X_n)_{n \ge 1}$, que representa la apuesta, el retorno y el beneficio, adaptada a una filtración $(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$. El núcleo de la metodología reside en dos herramientas matemáticas principales:

1. Teoría de Martingalas: Específicamente, la ley fuerte de los grandes números para martingalas de Chow (1967), que permite a los autores demostrar que la diferencia entre la suma de variables aleatorias y la suma de sus expectativas condicionales converge a cero casi seguramente, siempre que los segundos momentos estén acotados.
2. Descomposición de Doob: Los autores descomponen las sumas acumuladas de apuestas, retornos y beneficios en un componente de martingala (la desviación de las expectativas condicionales) y un componente predecible (la suma de las expectativas condicionales).

El resultado principal (Teorema 3.1) demuestra que, bajo condiciones moderadas —específicamente, segundos momentos acotados y un tamaño de apuesta promedio que no se anula—, la relación a largo plazo entre los retornos totales y las apuestas totales se comporta asintóticamente como la relación entre las sumas de sus expectativas condicionales. Esto permite reemplazar las variables aleatorias por sus expectativas condicionales dado el pasado, las cuales suelen ser deterministas o más fáciles de analizar.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo deriva teoremas de límite para cuatro clases distintas de juegos de casino, mostrando que el comportamiento a largo plazo está gobernado por los parámetros intrínsecos del juego (RTP y HA) en lugar de la estrategia de apuesta específica, siempre que la estrategia no viole las condiciones de acotación.

1. Juegos Simples (Secciones 4 y 5):

   • Para juegos con una o múltiples apuestas por coup donde los resultados se resuelven inmediatamente, los autores demuestran que si las apuestas unitarias subyacentes son i.i.d., la relación beneficio-apuesta a largo plazo converge casi seguramente a $-HA$ (o el RTP a 1).
   • En juegos con múltiples oportunidades de apuesta (por ejemplo, la ruleta con diferentes tipos de apuestas), el límite está acotado por el mínimo y el máximo de la RTP/HA de las oportunidades individuales. Si el juego es "invariante de HA" (todas las oportunidades tienen la misma HA, como en la ruleta de un solo cero estándar), el límite es único independientemente de la asignación del apostador.

2. Juegos Compuestos (Secciones 7 y 8):

   • El marco se extiende a juegos donde se realizan apuestas adicionales durante un coup (por ejemplo, doblar/dividir en el blackjack, free odds en el craps, Three Card Poker).
   • Los autores definen una "apuesta compuesta" donde la apuesta total es una apuesta base multiplicada por un factor aleatorio determinado dentro del coup. Demuestran que la relación a largo plazo converge a la RTP/HA calculada sobre la apuesta total esperada de la apuesta compuesta, no solo sobre la apuesta base.
   • Esto resuelve ambigüedades en la literatura sobre si se debe calcular la ventaja de la casa basándose en la apuesta inicial o en la cantidad total en riesgo.

3. Juegos con Dependencia Futura (Sección 9):

   • Para juegos donde las apuestas no se resuelven inmediatamente (por ejemplo, el craps con apuestas come, la ruleta con en prison), los autores introducen una filtración basada en rondas. Una ronda se define como una secuencia de giros/lanzamientos que termina en un tiempo de parada donde todas las apuestas pendientes se resuelven.
   • El Teorema 9.1 establece que si las longitudes de las rondas tienen segundos momentos acotados, el comportamiento asintótico de los totales basados en rondas converge a los mismos límites que los totales basados en giros, siempre que las expectativas condicionales de los retornos por unidad de apuesta permanezcan acotadas.

4. Aplicación al Sistema de la Ruleta de Leigh (Sección 6):

   • Como aplicación concreta, los autores analizan el sistema de "Labouchere inverso" descrito en Thirteen against the Bank (1976) de Norman Leigh, que afirmaba una ganancia de 800,000 francos en ocho días.
   • Utilizando el Corolario 5.1, establecen que el sistema debe converger a una pérdida de $1/74$ (aproximadamente 1.35%) a largo plazo.
   • A través de una simulación de Monte Carlo (1 millón de replicaciones de sesiones de 8 días) y una aproximación de Poisson, demuestran que la cantidad reportada de "progresiones ganadoras" (27) y la magnitud de la ganancia son estadísticamente imposibles por puro azar. La probabilidad de observar 27 progresiones ganadoras en ocho días se estima en menos de $1.5 \times 10^{-24}$.
   • Los autores concluyen que la historia es ficticia, señalando que el "beneficio" reportado ignoraba las frecuentes pequeñas pérdidas inherentes al sistema.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco riguroso y unificado para analizar el rendimiento a largo plazo de los juegos de casino bajo estrategias de apuesta realistas. Su significancia principal radica en:

• Generalización: Ir más allá del restrictivo supuesto i.i.d. para cubrir apuestas dependientes, estructuras compuestas y resoluciones retrasadas.
• Independencia de la Estrategia: Demostrar que, si bien la estrategia de un jugador influye en la varianza y en la trayectoria del beneficio, no puede alterar el límite asintótico de la relación beneficio-apuesta, el cual está determinado únicamente por la Ventaja de la Casa intrínseca del juego (siempre que la estrategia no implique tamaños de apuesta ilimitados que violen las condiciones de segundo momento).
• Validación Empírica: Proporcionar una refutación matemática de una famosa anécdota de juego, ilustrando la utilidad práctica de los límites teóricos para distinguir entre resultados plausibles y anomalías estadísticas.

Los autores mantienen un tono modesto, señalando que sus resultados se aplican a "condiciones moderadas" sobre las expectativas condicionales y que la teoría se aplica por igual a apostadores individuales o al agregado de la mesa desde la perspectiva del casino. No proponen nuevos sistemas de apuesta, sino que ofrecen una herramienta para analizar el inevitable fracaso a largo plazo de cualquier sistema en juegos de expectativa negativa.