Long-term behavior of casino games

Technische Samenvatting: Langetermijngedrag van casinospellen

Probleemstelling
Het artikel behandelt het asymptotische gedrag van de ratio tussen de totale opbrengst (of het totale winst/verlies) en het totale ingezette bedrag bij casinospellen. Hoewel de sterke wet van de grote getallen garandeert dat deze ratio bijna zeker convergeert naar de Return to Player (RTP) of het negatieve House Advantage (HA) wanneer weddenschappen onafhankelijk en identiek verdeeld (i.i.d.) zijn, faalt deze aanname bij het modelleren van realistische casinoscenario's. In de praktijk variëren de weddenschapssites vaak in de loop van de tijd en kunnen ze afhangen van voorgaande uitkomsten (bijv. wedsystemen), en spellen kunnen complexe structuren bevatten (meerdere weddenschappen per ronde) of toekomstige afhankelijkheid (weddenschappen die worden afgewikkeld over meerdere spins of worpen, zoals bij craps of roulette met de en prison-regel). De auteurs zoeken naar een algemeen kader om de langetermijnlimieten van deze ratio's te bepalen onder meer realistische, niet-i.i.d. omstandigheden, waarbij zij uitsluitend vertrouwen op de intrinsieke parameters van het spel.

Methodologie
De auteurs stellen een algemeen probabilistisch kader op gebaseerd op een sequentie van weddenschappen $(B_n, R_n, X_n)_{n \ge 1}$, die een inzet, opbrengst en winst/verlies vertegenwoordigen, aangepast aan een filtratie $(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$. De kern van de methodologie rust op twee belangrijke wiskundige instrumenten:

1. Martingaaltheorie: Specifiek de sterke wet van de grote getallen voor martingalen van Chow (1967), waarmee de auteurs kunnen aantonen dat het verschil tussen een som van willekeurige variabelen en de som van hun voorwaardelijke verwachtingen bijna zeker naar nul convergeert, mits de tweede momenten begrensd zijn.
2. Doob-decompositie: De auteurs deconstrueren de cumulatieve sommen van weddenschappen, opbrengsten en winst/verlies in een martingaalcomponent (de afwijking van de voorwaardelijke verwachtingen) en een voorspelbare component (de som van de voorwaardelijke verwachtingen).

Het hoofdbestel (Theorema 3.1) toont aan dat onder milde voorwaarden — specifiek begrensde tweede momenten en een niet-verdwijnende gemiddelde weddenschap — de langetermijnratio van totale opbrengsten tot totale weddenschappen asymptotisch gedraagt als de ratio van de sommen van hun voorwaardelijke verwachtingen. Dit maakt het mogelijk om willekeurige variabelen te vervangen door hun voorwaardelijke verwachtingen gegeven het verleden, die vaak deterministisch of gemakkelijker te analyseren zijn.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel leidt limietstellingen af voor vier verschillende klassen van casinospellen, waarbij wordt aangetoond dat het langetermijngedrag wordt beheerst door de intrinsieke spelparameters (RTP en HA) in plaats door de specifieke wedstrategie, mits de strategie de begrensdheidsvoorwaarden niet schendt.

1. Eenvoudige Spelen (Secties 4 & 5):

   • Voor spelen met één of meerdere weddenschappen per coup waarbij de uitkomsten onmiddellijk worden afgewikkeld, bewijzen de auteurs dat als de onderliggende eenheidsweddenschappen i.i.d. zijn, de langetermijnratio van winst/verlies-tot-weddenschap bijna zeker convergeert naar $-HA$ (of RTP naar 1).
   • In spelen met meerdere wedmogelijkheden (bijv. roulette met verschillende soorten weddenschappen) wordt de limiet begrensd door de minimale en maximale RTP/HA van de individuele mogelijkheden. Als een spel "HA-invariant" is (alle mogelijkheden hebben dezelfde HA, zoals bij standaard single-zero roulette), is de limiet uniek, ongeacht de allocatie van de wedder.

2. Samengestelde Spelen (Secties 7 & 8):

   • Het kader breidt zich uit naar spelen waarbij aanvullende weddenschappen worden geplaatst tijdens een coup (bijv. verdubbelen/splitsen in blackjack, free odds in craps, Three Card Poker).
   • De auteurs definiëren een "samengestelde weddenschap" waarbij de totale inzet een basisinzet is vermenigvuldigd met een willekeurige factor die binnen de coup wordt bepaald. Zij tonen aan dat de langetermijnratio convergeert naar de RTP/HA berekend over de totale verwachte inzet van de samengestelde weddenschap, en niet alleen over de basisinzet.
   • Dit lost ambiguïteiten in de literatuur op over de vraag of de house advantage moet worden berekend op basis van de initiële inzet of het totale risico.

3. Spelen met Toekomstige Afhankelijkheid (Sectie 9):

   • Voor spelen waarbij weddenschappen niet onmiddellijk worden afgewikkeld (bijv. craps met come bets, roulette met en prison), introduceren de auteurs een "ronde-gebaseerde" filtratie. Een ronde wordt gedefinieerd als een sequentie van spins/worpen die eindigt bij een stoppertijd waarbij alle openstaande weddenschappen worden afgewikkeld.
   • Theorema 9.1 stelt vast dat als de rondelengtes begrensde tweede momenten hebben, het asymptotische gedrag van de ronde-gebaseerde totalen convergeert naar dezelfde limieten als de spin-gebaseerde totalen, mits de voorwaardelijke verwachtingen van de opbrengsten per eenheidsweddenschap begrensd blijven.

4. Toepassing op het Leigh Roulette Systeem (Sectie 6):

   • Als concrete toepassing analyseren de auteurs het "reverse Labouchere"-systeem beschreven in Norman Leighs (1976) Thirteen against the Bank, dat beweerde een winst van 800.000 frank te hebben behaald in acht dagen.
   • Door gebruik te maken van Corollarium 5.1, stellen zij vast dat het systeem op de lange termijn moet convergeren naar een verlies van $1/74$ (ongeveer 1,35%).
   • Via Monte Carlo-simulaties (1 miljoen replicaties van sessies van 8 dagen) en de Poisson-benadering, demonstreren zij dat het gerapporteerde aantal "winnende progressies" (27) en de omvang van de winst statistisch onmogelijk zijn onder toeval. De kans op het observeren van 27 winnende progressies in acht dagen wordt geschat op minder dan $1,5 \times 10^{-24}$.
   • De auteurs concluderen dat het verhaal fictief is, waarbij zij opmerken dat de gerapporteerde "winst" de frequente kleine verliezen die inherent zijn aan het systeem negeerde.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een verenigd, rigoureus kader te bieden voor het analyseren van de langetermijnprestaties van casinospellen onder realistische wedstrategieën. De primaire betekenis ligt in:

• Generalisatie: Het overstijgen van de restrictieve i.i.d.-aanname om afhankelijke weddenschappen, samengestelde structuren en vertraagde afwikkelingen te dekken.
• Strategie-onafhankelijkheid: Het aantonen dat hoewel een strategie van een gokker de variantie en het verloop van de winst beïnvloedt, het de asymptotische limiet van de winst/verlies-ratio niet kan veranderen, die uitsluitend wordt bepaald door het intrinsieke House Advantage van het spel (mits de strategie geen onbegrensde wedmaten omvat die de voorwaarden van het tweede moment schenden).
• Empirische Validatie: Het bieden van een wiskundige weerlegging van een beroemd gokanekdote, wat de praktische bruikbaarheid van de theoretische grenzen illustreert bij het onderscheiden van plausibele uitkomsten en statistische anomalieën.

De auteurs hanteren een bescheiden toon, waarbij zij opmerken dat hun resultaten van toepassing zijn op "milde voorwaarden" op voorwaardelijke verwachtingen en dat de theorie even goed geldt voor individuele gokkers als voor het geaggregeerde totaal van de tafel vanuit het perspectief van het casino. Zij stellen geen nieuwe wedsystemen voor, maar bieden een instrument om het onvermijdelijke langetermijnfalen van elk systeem in spellen met een negatieve verwachting te analyseren.