Proper moduli spaces of orthosymplectic complexes

Resumen Técnico: Espacios Moduli Apropiados de Complejos Ortosimplécticos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de la compactificación de los espacios moduli de fibrados principales $G$ sobre una variedad proyectiva suave compleja $X$ cuando $\dim(X) \geq 2$. Mientras que los espacios moduli de fibrados principales semiestables son compactos para curvas (Ramanathan), los casos de mayor dimensión requieren una noción de "fibrados principales singulares" para lograr la compacidad. Los enfoques existentes utilizan $\rho$-hojas principales (que dependen de una representación $\rho$ de $G$). El autor propone una compactificación alternativa específicamente para los grupos ortogonales ($O_n$) y simplécticos ($Sp_{2n}$), utilizando complejos ortosimplécticos. Estos son complejos de haces coherentes isomorfos a sus propios duales derivados. El desafío central es establecer la existencia de espacios moduli buenos y propios para los stacks moduli de complejos ortosimplécticos de Bridgeland semiestables.

Metodología
El artículo emplea un enfoque de dos vertientes que combina la teoría abstracta de stacks con aplicaciones específicas a las categorías derivadas:

1. Teoría General de Loci Fijos y Stacks de Mapeo:
   El autor establece un resultado general sobre la preservación de "espacios moduli buenos" bajo acciones de grupos finitos y stacks de mapeo:

   • Loci Fijos: Para un stack algebraico $\mathcal{X}$ con un espacio moduli bueno $\mathcal{X} \to X$, el artículo investiga el locus fijo $\mathcal{X}^\Gamma$ bajo un grupo finito $\Gamma$.
   • Stacks de Mapeo: El artículo analiza el stack de mapeo $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$, mostrando que es equivalente al locus fijo cuando la acción es trivial.
   • Criterio Valuativo: El núcleo de la prueba reside en verificar el criterio valuativo para la cerradura universal. El autor adapta resultados de Alper, Halpern-Leistner y Heinloth [2] para mostrar que, si $\mathcal{X}$ tiene un espacio moduli bueno, entonces $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$ (y consecuentemente $\mathcal{X}^\Gamma$ bajo supuestos de separación) también admite un espacio moduli bueno que es finito sobre la base original. Esto implica levantar los homomorfismos de grupo $\rho: \Gamma \to \text{Aut}(x_K)$ desde la fibra genérica a una extensión de anillos de valoración discreta.

2. Aplicación a Complejos Ortosimplécticos:

   • Definición: Un complejo ortosimpléctico se define como un punto fijo de una acción de $\mathbb{Z}/2$ sobre el stack moduli de complejos perfectos $\text{Perf}(X)$. Esta acción es inducida por una estructura autodual $D = R\text{Hom}(I^*(-), L)[s]$ en la categoría dg, donde $I$ es una involución, $L$ un haz de líneas y $s$ un entero.
   • Estabilidad: El autor considera condiciones de estabilidad de Bridgeland $\tau = (Z, \mathcal{P})$ que son autoduales (es decir, $(Z, \mathcal{P}) = (Z^\vee, \mathcal{P}^\vee)$).
   • Construcción: El stack moduli de complejos ortosimplécticos semiestables se identifica como el locus fijo del stack moduli de complejos semiestables bajo la acción de $\mathbb{Z}/2$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 3.1 (Resultado General): Sea $\mathcal{X}$ un stack algebraico localmente de tipo finito con diagonal afín sobre un espacio algebraico noetheriano $S$ de característica cero, que admite un espacio moduli bueno $\mathcal{X} \to X$.

  • Para cualquier grupo finito $\Gamma$, el stack de mapeo $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$ admite un espacio moduli bueno finito sobre $X$.
  • Si $X$ es separado, el locus fijo $\mathcal{X}^\Gamma$ también admite un espacio moduli bueno finito sobre $X$.
  • Nota: El supuesto de que $X$ sea separado es necesario para el resultado del locus fijo; existen contraejemplos si $X$ no es separado (por ejemplo, la recta con dos orígenes).

• Teorema 4.4 (Aplicación Principal): Sea $X$ una variedad proyectiva suave conexa sobre $\mathbb{C}$ con datos autoduales fijos $(I, L, s, \epsilon)$. Sea $\tau$ una condición de estabilidad de Bridgeland con carga central racional que satisface planitud genérica y acotación.

  • Para cualquier carácter de Chern $\alpha$ tal que $\alpha = D(\alpha)$ y $Z(\alpha) \in \mathbb{R}_{>0}$, el stack moduli de complejos autoduales $\tau$-semiestables con carácter de Chern $\alpha$ admite un espacio moduli bueno propio.
  • Consecuentemente, cada componente conexa del stack moduli de complejos ortosimplécticos semiestables tiene un espacio moduli bueno propio.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que estos espacios moduli buenos propios sirven como un candidato para compactificar los espacios moduli de fibrados principales para $O_n$ y $Sp_{2n}$. El autor señala que, en el contexto de la teoría de Donaldson–Thomas motivica, los complejos ortosimplécticos aparecen más convenientes que las $\rho$-hojas principales.

El artículo destaca propiedades geométricas específicas en el caso donde $X$ es una superficie K3 o abeliana:

• El stack moduli admite un realce derivado con una estructura simpléctica de desplazamiento 0.
• El espacio moduli bueno propio resultante admite una estructura de Poisson, que se restringe a una estructura simpléctica en el locus estable.
• El autor sugiere que estos espacios están modelados localmente sobre reducciones simplécticas de los moduli de representaciones de quivers autoduales, aunque el artículo no resuelve si poseen singularidades simplécticas o admiten resoluciones simplécticas (cuestiones dejadas abiertas para análisis futuros).

El trabajo depende de la existencia de espacios moduli buenos propios para el stack moduli subyacente de complejos semiestables (establecido en [2]) y extiende esta existencia a los loci fijos mediante la maquinaria general desarrollada en la Sección 3.