Proper moduli spaces of orthosymplectic complexes

Resumo Técnico: Espaços Moduli Próprios de Complexos Ortossimpléticos

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema da compactificação de espaços moduli de fibrados principais $G$ sobre uma variedade projetiva suave complexa $X$ quando $\dim(X) \geq 2$. Enquanto os espaços moduli de fibrados principais semiestáveis são compactos para curvas (Ramanathan), casos de maior dimensão requerem uma noção de "fibrados principais singulares" para alcançar a compactação. Abordagens existentes utilizam $\rho$-sheaves principais (dependendo de uma representação $\rho$ de $G$). O autor propõe uma compactificação alternativa especificamente para os grupos ortogonais ($O_n$) e simpléticos ($Sp_{2n}$), utilizando complexos ortossimpléticos. Estes são complexos de sheaves coerentes isomórficos aos seus próprios duais derivados. O desafio central é estabelecer a existência de espaços moduli bons e próprios para os stacks moduli de complexos ortossimpléticos de Bridgeland semiestáveis.

Metodologia
O artigo emprega uma abordagem de duas vertentes combinando teoria de stacks abstrata com aplicações específicas à categorias derivadas:

1. Teoria Geral de Locos Fixos e Stacks de Mapeamento:
   O autor estabelece um resultado geral sobre a preservação de "espaços moduli bons" sob ações de grupos finitos e stacks de mapeamento:

   • Locos Fixos: Para um stack algébrico $\mathcal{X}$ com um espaço moduli bom $\mathcal{X} \to X$, o artigo investiga o loco fixo $\mathcal{X}^\Gamma$ sob a ação de um grupo finito $\Gamma$.
   • Stacks de Mapeamento: O artigo analisa o stack de mapeamento $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$, mostrando que ele é equivalente ao loco fixo quando a ação é trivial.
   • Critério Valuativo: O núcleo da prova reside na verificação do critério valuativo para fechamento universal. O autor adapta resultados de Alper, Halpern-Leistner e Heinloth [2] para mostrar que, se $\mathcal{X}$ possui um espaço moduli bom, então $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$ (e consequentemente $\mathcal{X}^\Gamma$ sob suposições de separação) também admite um espaço moduli bom que é finito sobre a base original. Isso envolve levantar homomorfismos de grupo $\rho: \Gamma \to \text{Aut}(x_K)$ do fiber genérico para uma extensão de anéis de valor discreto.

2. Aplicação a Complexos Ortossimpléticos:

   • Definição: Um complexo ortossimplético é definido como um ponto fixo de uma ação de $\mathbb{Z}/2$ no stack moduli de complexos perfeitos $\text{Perf}(X)$. Esta ação é induzida por uma estrutura autodual $D = R\text{Hom}(I^*(-), L)[s]$ na dg-categoria, onde $I$ é uma involução, $L$ um line bundle e $s$ um inteiro.
   • Estabilidade: O autor considera condições de estabilidade de Bridgeland $\tau = (Z, \mathcal{P})$ que são autoduais (ou seja, $(Z, \mathcal{P}) = (Z^\vee, \mathcal{P}^\vee)$).
   • Construção: O stack moduli de complexos ortossimpléticos semiestáveis é identificado como o loco fixo do stack moduli de complexos semiestáveis sob a ação de $\mathbb{Z}/2$.

Contribuições Principais e Resultados

• Teorema 3.1 (Resultado Geral): Seja $\mathcal{X}$ um stack algébrico localmente de tipo finito com diagonal afim sobre um espaço algébrico noetheriano $S$ de característica zero, admitindo um espaço moduli bom $\mathcal{X} \to X$.

  • Para qualquer grupo finito $\Gamma$, o stack de mapeamento $\text{Map}(B\Gamma, \mathcal{X})$ admite um espaço moduli bom finito sobre $X$.
  • Se $X$ é separado, o loco fixo $\mathcal{X}^\Gamma$ também admite um espaço moduli bom finito sobre $X$.
  • Nota: A suposição de que $X$ é separado é necessária para o resultado do loco fixo; existem contraexemplos se $X$ não for separado (por exemplo, a reta com duas origens).

• Teorema 4.4 (Principal Aplicação): Seja $X$ uma variedade $\mathbb{C}$-projetiva conexa com dados autoduais fixos $(I, L, s, \epsilon)$. Seja $\tau$ uma condição de estabilidade de Bridgeland autodual com carga central racional satisfazendo flatness genérica e limitação (boundedness).

  • Para qualquer caráter de Chern $\alpha$ tal que $\alpha = D(\alpha)$ e $Z(\alpha) \in \mathbb{R}_{>0}$, o stack moduli de complexos autoduais $\tau$-semiestáveis com caráter de Chern $\alpha$ admite um espaço moduli bom próprio.
  • Consequentemente, cada componente conexa do stack moduli de complexos ortossimpléticos semiestáveis possui um espaço moduli bom próprio.

Significância e Alegações
O artigo alega que estes espaços moduli bons próprios servem como um candidato para compactificar os espaços moduli de fibrados principais para $O_n$ e $Sp_{2n}$. O autor observa que, no contexto da teoria de Donaldson–Thomas motivica, os complexos ortossimpléticos aparecem mais convenientes do que as $\rho$-sheaves principais.

O artigo destaca propriedades geométricas específicas no caso em que $X$ é uma superfície K3 ou abeliana:

• O stack moduli admite um aprimoramento derivado com uma estrutura simplética de deslocamento 0 (0-shifted symplectic structure).
• O espaço moduli bom próprio resultante admite uma estrutura de Poisson, que se restringe a uma estrutura simplética no locus estável.
• O autor sugere que estes espaços são localmente modelados em reduções simpléticas de moduli de representações de quivers autoduais, embora o artigo não resolva se eles possuem singularidades simpléticas ou admitem resoluções simpléticas (questões deixadas em aberto para análise futura).

O trabalho depende da existência de espaços moduli bons próprios para o stack moduli subjacente de complexos semiestáveis (estabelecido em [2]) e estende esta existência para os locos fixos via a maquinaria geral desenvolvida na Seção 3.