A note on extensions of $p$-adic representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$

Resumen Técnico: Extensiones de Representaciones p-ádicas de GL₂(Qₚ)

Enunciado del Problema
El artículo aborda el cálculo de grupos de extensión dentro de la categoría de duales de representaciones de Banach p-ádicas admisibles de longitud finita de $G = \text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. Si bien la correspondencia local de Langlands p-ádica (LLC) establece una biyección entre clases de isomorfismo de ciertas representaciones de Galois y representaciones en espacios de Banach, una comprensión estructural más profunda requiere analizar la categoría derivada, específicamente los grupos de extensión ($\text{Ext}^i$) entre estos objetos. Estas extensiones son cruciales para entender la compatibilidad entre la teoría de deformaciones de representaciones de Galois y la de representaciones de $G$.

Antes de este trabajo, se había logrado un progreso significativo en el contexto de característica $p$ (representaciones módulo $p$) por parte de Emerton, Breuil, Paškunas y Colmez. Sin embargo, la literatura sobre grupos de extensión en característica 0 (específicamente para representaciones de espacios de Banach p-ádicos) seguía siendo escasa. Los resultados existentes cubrían casos específicos, como extensiones entre series principales modulares $p$-ádicas continuas y unitarias y suaves módulo $p$ (Hauseux) o entre dos representaciones supercuspidales (Paškunas). Existía una laguna en el cálculo de extensiones donde una representación es el dual de una representación no ordinaria que surge de la LLC p-ádica.

Metodología
Los autores emplean el marco de la correspondencia local de Langlands p-ádica desarrollado por Colmez y Paškunas, utilizando el "functor de Montreal" $V$ y sus variantes duales.

1. Marco Categórico: El estudio se centra en la categoría $\text{Ban}^{\text{adm}}_{G,\zeta}(E)$ de representaciones unitarias admisibles en espacios de Banach $E$-con un carácter central $\zeta$. Dado que esta categoría carece de suficientes inyectivos, los autores utilizan la construcción de Yoneda para definir grupos de extensión $\text{Ext}^i_{G,\zeta}$.
2. Dualidades y Funtores: El análisis depende en gran medida de la relación entre una representación $\Pi$ y su dual continuo $\Pi^*$. Los autores utilizan el dual de Schikhof y el dual de Pontryagin para relacionar representaciones de espacios de Banach con módulos sobre el álgebra de grupo completada. Una herramienta clave es el funtor $\check{V}$, que mapea representaciones de Banach duales de vuelta a representaciones de Galois, satisfaciendo $\check{V}(\Pi^*) \cong V(\Pi)^*(\varepsilon\zeta)$.
3. Descomposición en Bloques: Siguiendo a Paškunas, la categoría se descompone en bloques basados en la reducción módulo $p$ de las representaciones. Los autores analizan la acción del anillo de deformación universal del pseudo-carácter $R^{\text{ps},\psi}_{\text{tr}\rho_B}$ sobre estos bloques.
4. Reducción a Álgebra Conmutativa: Para representaciones absolutamente irreducibles dentro de un bloque específico, se demuestra que el anillo de endomorfismos es el cuerpo $E$. Los grupos de extensión se reducen entonces al cálculo de extensiones en la categoría de módulos sobre un anillo local completo $A$, que se identifica como la completación del anillo de deformación del pseudo-carácter en un ideal maximal.

Contribuciones y Resultados Clave

• Clasificación de Extensiones (Teorema 1.1): El artículo proporciona una clasificación completa de los grupos de extensión $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*)$ bajo una condición de generalidad sobre la reducción de la representación de Galois $V$.

  • Caso de Anulación: Si $\pi$ es una representación de Banach unitaria admisible absolutamente irreducible tal que su representación de Galois asociada $V(\pi)$ no es isomorfa a $V$, entonces $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*) = 0$ para todo $i \geq 0$.
  • Caso de No Anulación: Si $V(\pi) \cong V$, los grupos de extensión son no nulos solo para $0 \leq i \leq 3$. Específicamente, $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*) \cong E^{\binom{3}{i}}$. Este resultado se basa en el hecho de que el anillo de deformación relevante $A$ es un anillo local regular completo de dimensión 3, lo que permite el uso del complejo de Koszul para calcular los grupos Ext.

• Aplicación a Espacios de Drinfeld (Corolario 1.2): Los autores aplican estos resultados de anulación al contexto geométrico de la cohomología étale p-ádica de espacios de Drinfeld de nivel finito.

  • Consideran la componente isotípica $V$ de la cohomología $H^1_{\text{ét}}(M_\infty, E(1))$, donde $V$ es una representación de Galois supercuspidal.
  • Utilizando el isomorfismo establecido por Colmez, Dospinescu y Nizioł, que relaciona esta cohomología con copias de $\Pi(V)^*$, los autores demuestran que no existen extensiones entre esta componente de cohomología y el dual de la representación adjunta a una representación de Galois reducible $\rho_p$ (siempre que $\rho_p$ satisfaga condiciones específicas de Hodge-Tate y generalidad).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma novedad en el cálculo de extensiones en la categoría de duales de representaciones de Banach p-ádicas admisibles de longitud finita, específicamente cuando una de las representaciones es el dual de una representación no ordinaria. Los autores declaran que estos resultados se aplican para probar la anulación de extensiones entre representaciones duales de espacios de Banach p-ádicas adjuntas a representaciones de Galois reducibles y componentes isotípicas supercuspidales de la cohomología étale p-ádica de espacios de Drinfeld.

El trabajo se presenta como una "nota breve" que llena una laguna específica en la literatura de característica 0, complementando el extenso trabajo realizado en el contexto módulo $p$. Los autores enfatizan que los resultados dependen de la generalidad de la reducción de la representación de Galois y de la estructura específica de los anillos de deformación asociados a los bloques de la categoría. El artículo no propone nuevas aplicaciones experimentales, sino que solidifica el vínculo teórico entre la teoría de deformaciones de representaciones de Galois y la teoría de representaciones de grupos p-ádicos en el contexto del programa de Langlands local.