A note on extensions of $p$-adic representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$

Résumé technique : Extensions des représentations p-adiques de GL₂(Qₚ)

Énoncé du problème
L'article traite du calcul des groupes d'extensions dans la catégorie des duaux des représentations p-adiques de Banach admissibles de longueur finie de $G = \text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. Alors que la correspondance de Langlands locale p-adique (LLC) établit une bijection entre les classes d'isomorphisme de certaines représentations galoisiennes et les représentations de Banach, une compréhension structurelle plus profonde nécessite l'analyse de la catégorie dérivée, en particulier des groupes d'extensions ($\text{Ext}^i$) entre ces objets. Ces extensions sont cruciales pour comprendre la compatibilité entre la théorie de déformation des représentations galoisiennes et celle des représentations de $G$.

Avant ce travail, des progrès significatifs avaient été réalisés dans le cadre de la caractéristique $p$ (représentations mod $p$) par Emerton, Breuil, Paškunas et Colmez. Cependant, la littérature sur les groupes d'extensions en caractéristique 0 (spécifiquement pour les représentations de Banach p-adiques) restait rare. Les résultats existants couvraient des cas spécifiques, tels que les extensions entre séries principales continues unitaires et lisses mod $p$ (Hauseux) ou entre deux représentations supercuspidales (Paškunas). Un vide existait dans le calcul des extensions où l'une des représentations est le dual d'une représentation non ordinaire issue de la LLC p-adique.

Méthodologie
Les auteurs emploient le cadre de la correspondance de Langlands locale p-adique développé par Colmez et Paškunas, en utilisant le « foncteur de Montréal » $V$ et ses variantes duales.

1. Cadre catégoriel : L'étude se concentre sur la catégorie $\text{Ban}^{\text{adm}}_{G,\zeta}(E)$ des représentations unitaires admissibles de $E$-espaces de Banach avec un caractère central $\zeta$. Puisque cette catégorie ne possède pas assez d'injectifs, les auteurs utilisent la construction de Yoneda pour définir les groupes d'extensions $\text{Ext}^i_{G,\zeta}$.
2. Dualités et foncteurs : L'analyse repose fortement sur la relation entre une représentation $\Pi$ et son dual continu $\Pi^*$. Les auteurs utilisent le dual de Schikhof et le dual de Pontryagin pour relier les représentations de Banach aux modules sur l'algèbre de groupe complétée. Un outil clé est le foncteur $\check{V}$, qui applique les représentations de Banach duaux vers les représentations galoisiennes, satisfaisant $\check{V}(\Pi^*) \cong V(\Pi)^*(\varepsilon\zeta)$.
3. Décomposition en blocs : Suivant Paškunas, la catégorie est décomposée en blocs basés sur la réduction mod $p$ des représentations. Les auteurs analysent l'action de l'anneau de déformation universel du pseudo-caractère $R^{\text{ps},\psi}_{\text{tr}\rho_B}$ sur ces blocs.
4. Réduction à l'algèbre commutative : Pour les représentations absolument irréductibles au sein d'un bloc spécifique, l'anneau d'endomorphismes est montré être le corps $E$. Les groupes d'extensions sont alors réduits au calcul des extensions dans la catégorie des modules sur un anneau local complet $A$, identifié comme le complété de l'anneau de déformation du pseudo-caractère en un idéal maximal.

Contributions et résultats clés

• Classification des extensions (Théorème 1.1) : L'article fournit une classification complète des groupes d'extensions $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*)$ sous une condition de généralité sur la réduction de la représentation galoisienne $V$.

  • Cas d'annulation : Si $\pi$ est une représentation de Banach unitaire admissible absolument irréductible telle que sa représentation galoisienne associée $V(\pi)$ n'est pas isomorphe à $V$, alors $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*) = 0$ pour tout $i \geq 0$.
  • Cas non nul : Si $V(\pi) \cong V$, les groupes d'extensions sont non nuls uniquement pour $0 \leq i \leq 3$. Spécifiquement, $\text{Ext}^i_{G,\zeta}(\pi^*, \Pi(V)^*) \cong E^{\binom{3}{i}}$. Ce résultat repose sur le fait que l'anneau de déformation pertinent $A$ est un anneau local régulier complet de dimension 3, permettant l'utilisation du complexe de Koszul pour calculer les groupes Ext.

• Application aux espaces de Drinfeld (Corollaire 1.2) : Les auteurs appliquent ces résultats d'annulation au contexte géométrique de la cohomologie étale p-adique des espaces de Drinfeld de niveau fini.

  • Ils considèrent la composante isotypique $V$ de la cohomologie $H^1_{\text{ét}}(M_\infty, E(1))$, où $V$ est une représentation galoisienne supercuspidale.
  • En utilisant l'isomorphisme établi par Colmez, Dospinescu et Nizioł, qui relie cette cohomologie à des copies de $\Pi(V)^*$, les auteurs prouvent qu'il n'existe aucune extension entre cette composante de cohomologie et le dual de la représentation attachée à une représentation galoisienne réductible $\rho_p$ (à condition que $\rho_p$ satisfasse des conditions spécifiques de Hodge-Tate et de généralité).

Portée et affirmations
L'article revendique une nouveauté dans le calcul des extensions dans la catégorie des duaux des représentations de Banach p-adiques admissibles de longueur finie, spécifiquement lorsque l'une des représentations est le dual d'une représentation non ordinaire. Les auteurs affirment que ces résultats sont appliqués pour prouver l'annulation des extensions entre les duaux de représentations de Banach p-adiques attachées à des représentations galoisiennes réductibles et les composantes isotypiques supercuspidales de la cohomologie étale p-adique des espaces de Drinfeld.

L'ouvrage est présenté comme une « note courte » qui comble un vide spécifique dans la littérature de caractéristique 0, complétant le travail extensif réalisé dans le cadre mod $p$. Les auteurs soulignent que les résultats reposent sur la généralité de la réduction de la représentation galoisienne et sur la structure spécifique des anneaux de déformation associés aux blocs de la catégorie. L'article ne propose pas de nouvelles applications expérimentales, mais consolide plutôt le lien théorique entre la théorie de déformation des représentations galoisiennes et la théorie des représentations des groupes p-adiques dans le contexte du programme de Langlands local.