Lifts of endomorphisms of Weyl algebras modulo $p^2$

Resumen Técnico: Levantamientos de Endomorfismos de Álgebras de Weyl Módulo $p^2$

Planteamiento del Problema
Sea $k$ un cuerpo perfecto de característica positiva $p > 0$, y sea $A_n(k)$ el $n$-ésimo álgebra de Weyl sobre $k$. En característica positiva, $A_n(k)$ es un álgebra de Azumaya con un centro $Z \cong k[x_1, \dots, x_{2n}]$, donde $x_i = z_i^p$. El centro $Z$ posee una estructura de álgebra de Poisson natural definida por $\{x_i, x_j\} = -\omega_{i,j}$.

El problema central abordado consiste en determinar las condiciones bajo las cuales un endomorfismo de $k$-álgebra $\phi: A_n(k) \to A_n(k)$ puede ser "levantado" a un endomorfismo $\Phi: A_n(W_2(k)) \to A_n(W_2(k))$, donde $W_2(k)$ es el anillo de vectores de Witt de longitud dos sobre $k$ (un anillo de característica $p^2$). Una cuestión secundaria, relacionada, concierne a las propiedades del endomorfismo inducido $\phi_Z$ sobre el centro $Z$, específicamente si $\phi_Z$ preserva el corchete de Poisson (es decir, si es un morfismo de Poisson).

El trabajo previo de Tsuchimoto estableció que si el grado de $\phi$ es menor que $p/2$, entonces $\phi_Z$ es un morfismo de Poisson. Belov-Kanel y Kontsevich observaron que si existe un levantamiento a característica $p^2$, entonces $\phi_Z$ debe ser un morfismo de Poisson. Sin embargo, la equivalencia precisa entre la existencia de un levantamiento y la propiedad de Poisson, así como los límites de grado óptimos para estas propiedades, aún no habían sido caracterizados completamente.

Metodología
Los autores emplean una combinación de álgebra no conmutativa, teoría de obstrucción cohomológica y ecuaciones diferenciales en característica $p$.

1. Condiciones de Levantamiento: Los autores analizan las relaciones de conmutación en $A_n(W_2(k))$. Si $\phi(z_i) = u_i$, el levantamiento requiere encontrar elementos $v_i \in A_n(k)$ tales que los elementos perturbados $u_i + p v_i$ satisfagan las relaciones de Weyl módulo $p^2$. Esto conduce a un sistema de ecuaciones que involucra los conmutadores $[u_i, v_j] - [u_j, v_i]$ y términos de obstrucción $u_{ij}$ derivados de la expansión de $[u_i, u_j]$.
2. Interpretación Cohomológica: La obstrucción al levantamiento se interpreta mediante el complejo de Chevalley–Eilenberg de $A_n(k)$ visto como un módulo sobre un álgebra de Lie abeliana. Utilizando una trivialización específica de $A_n(k)$ sobre su centro, los autores mapean el problema al complejo de de Rham de un anillo polinomial $S = k[y_1, \dots, y_{2n}]$. Se muestra que la obstrucción corresponde a una clase en el segundo grupo de cohomología de de Rham $H^2_{dR}(S/k)$.
3. Marco de Tsuchimoto y Refinamiento: El artículo utiliza el enfoque de Tsuchimoto que involucra la trivialización de $A_n(k)$ como un álgebra de matrices sobre una extensión $S$. Al estudiar los endomorfismos $A_n(k)$-lineales de un módulo específico $M$, los autores derivan ecuaciones diferenciales que gobiernan los "términos de error" ($\gamma_i$) que surgen al comparar los operadores levantados con los estándar.
4. Análisis de Grado: Los autores realizan un análisis detallado del grado de las soluciones a estas ecuaciones diferenciales. Utilizan el hecho de que en característica $p$, el operador $\partial^{p-1}/\partial y^{p-1}$ actúa como una proyección sobre monomios específicos, lo que les permite acotar los grados de los términos de obstrucción.

Contribuciones Clave y Resultados

• Equivalencia entre Levantamiento y Morfismos de Poisson: El resultado principal (Teorema 2.7) establece una condición necesaria y suficiente: un endomorfismo de $k$-álgebra $\phi$ de $A_n(k)$ se levanta a un endomorfismo de $A_n(W_2(k))$ si y solo si el endomorfismo inducido $\phi_Z$ sobre el centro es un morfismo de Poisson. Esto se demuestra relacionando la matriz jacobiana de $\phi_Z$ con una matriz $C$ de elementos de obstrucción central, mostrando que $C=0$ (la condición para el levantamiento) es equivalente a la condición de Poisson $J_\phi \omega^{-1} J_\phi^T = \omega^{-1}$.
• Mejora de los Límites de Grado: El artículo refina el resultado de Tsuchimoto (Teorema 3.10). Demuestra que si $\deg(\phi(z_l)) + \deg(\phi(z_{n+l})) < 2p$ para todo $l=1, \dots, n$, entonces $\phi_Z$ es un morfismo de Poisson. Consecuentemente, tal $\phi$ admite un levantamiento a $W_2(k)$. Esto mejora el límite previo de $\deg(\phi) < p/2$ a una condición que efectivamente permite $\deg(\phi) < p$.
• Inyectividad y Planitud: Bajo la condición $\deg(\phi) < p$, los autores concluyen que $\phi$ es inyectivo. Esto resuelve la cuestión de la inyectividad para este rango de grado, extendiendo resultados conocidos para $n=1$ y característica cero. Además, si $\phi$ es biracional y $\deg(\phi) < p$, se demuestra que es un automorfismo.
• Criterio Diferencial para el Levantamiento: El artículo proporciona un criterio explícito (Proposición 3.15) para que $\phi_Z$ sea un morfismo de Poisson. Esto implica resolver ecuaciones diferenciales específicas de la forma $\frac{\partial^{p-1}}{\partial x_i^{p-1}} (\dots) = f^p + \frac{\partial^{p-1}f}{\partial x_i^{p-1}}$. El levantamiento existe si y solo si las soluciones $f_i$ de estas ecuaciones satisfacen la condición de simetría $\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i}$.

Significancia
El artículo afirma su significancia al unificar el problema algebraico de levantar endomorfismos a característica $p^2$ con la propiedad geométrica de preservar la estructura de Poisson en el centro. Al establecer la relación de "si y solo si", los autores proporcionan una caracterización estructural de los endomorfismos levantables.

La mejora del límite de grado de $p/2$ a $p$ (específicamente $\deg(\phi) < p$) se destaca como un refinamiento significativo del trabajo de Tsuchimoto. Este límite se muestra como óptimo en ciertos sentidos (vía Ejemplo 3.11). Los resultados permiten a los autores transferir propiedades conocidas para las álgebras de Weyl en característica cero (como la inyectividad y la implicación de que los endomorfismos biracionales son automorfismos) al entorno de la característica positiva, siempre que el grado del endomorfismo sea suficientemente pequeño en relación con la característica $p$. El trabajo tiende así un puente entre la teoría de las álgebras de Weyl en característica cero y la de característica positiva, ofreciendo nuevas herramientas para analizar los endomorfismos en este último contexto.