Lifts of endomorphisms of Weyl algebras modulo $p^2$

Résumé technique : Relèvements des endomorphismes d'algèbres de Weyl modulo $p^2$

Énoncé du problème
Soit $k$ un corps parfait de caractéristique positive $p > 0$, et soit $A_n(k)$ l'algèbre de Weyl $n$-ième sur $k$. En caractéristique positive, $A_n(k)$ est une algèbre d'Azumaya dont le centre est $Z \cong k[x_1, \dots, x_{2n}]$, où $x_i = z_i^p$. Le centre $Z$ porte une structure d'algèbre de Poisson naturelle définie par $\{x_i, x_j\} = -\omega_{i,j}$.

Le problème central traité consiste à déterminer les conditions dans lesquelles un endomorphisme de $k$-algèbres $\phi: A_n(k) \to A_n(k)$ peut être « élevé » (lifted) en un endomorphisme $\Phi: A_n(W_2(k)) \to A_n(W_2(k))$, où $W_2(k)$ est l'anneau des vecteurs de Witt de longueur deux sur $k$ (un anneau de caractéristique $p^2$). Une question secondaire, liée, concerne les propriétés de l'endomorphisme induit $\phi_Z$ sur le centre $Z$, plus précisément si $\phi_Z$ préserve le crochet de Poisson (c'est-à-dire si $\phi_Z$ est un morphisme de Poisson).

Des travaux antérieurs de Tsuchimoto ont établi que si le degré de $\phi$ est inférieur à $p/2$, alors $\phi_Z$ est un morphisme de Poisson. Belov-Kanel et Kontsevich ont observé que si un relèvement vers la caractéristique $p^2$ existe, alors $\phi_Z$ doit être un morphisme de Poisson. Cependant, l'équivalence précise entre l'existence d'un relèvement et la propriété de Poisson, ainsi que les bornes de degré optimales pour ces propriétés, restaient à caractériser pleinement.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'algèbre non commutative, de théorie de l'obstruction cohomologique et d'équations différentielles en caractéristique $p$.

1. Conditions de relèvement : Les auteurs analysent les relations de commutateur dans $A_n(W_2(k))$. Si $\phi(z_i) = u_i$, le relèvement nécessite de trouver des éléments $v_i \in A_n(k)$ tels que les éléments perturbés $u_i + p v_i$ satisfassent les relations de Weyl modulo $p^2$. Cela conduit à un système d'équations impliquant les commutateurs $[u_i, v_j] - [u_j, v_i]$ et des termes d'obstruction $u_{ij}$ dérivés de l'expansion de $[u_i, u_j]$.
2. Interprétation cohomologique : L'obstruction au relèvement est interprétée via le complexe de Chevalley–Eilenberg de $A_n(k)$ considéré comme un module sur une algèbre de Lie abélienne. En utilisant une trivialisation spécifique de $A_n(k)$ sur son centre, les auteurs rapportent le problème au complexe de de Rham d'un anneau de polynômes $S = k[y_1, \dots, y_{2n}]$. L'obstruction est montrée comme correspondant à une classe dans le second groupe de cohomologie de de Rham $H^2_{dR}(S/k)$.
3. Cadre de Tsuchimoto et raffinement : Le papier utilise l'approche de Tsuchimoto impliquant la trivialisation de $A_n(k)$ en tant qu'algèbre de matrices sur une extension $S$. En étudiant les endomorphismes $A_n(k)$-linéaires d'un module spécifique $M$, les auteurs dérivent des équations différentielles régissant les « termes d'erreur » ($\gamma_i$) qui apparaissent lors de la comparaison des opérateurs élevés avec les opérateurs standards.
4. Analyse de degré : Les auteurs effectuent une analyse détaillée du degré des solutions de ces équations différentielles. Ils utilisent le fait qu'en caractéristique $p$, l'opérateur $\partial^{p-1}/\partial y^{p-1}$ agit comme une projection sur des monômes spécifiques, ce qui leur permet de borner les degrés des termes d'obstruction.

Contributions clés et résultats

• Équivalence entre relèvement et morphismes de Poisson : Le résultat principal (Théorème 2.7) établit une condition nécessaire et suffisante : un endomorphisme de $k$-algèbres $\phi$ de $A_n(k)$ se relève en un endomorphisme de $A_n(W_2(k))$ si et seulement si l'endomorphisme induit $\phi_Z$ sur le centre est un morphisme de Poisson. Ceci est prouvé en reliant la matrice jacobienne de $\phi_Z$ à une matrice $C$ d'éléments d'obstruction centraux, montant que $C=0$ (la condition pour le relèvement) est équivalent à la condition de Poisson $J_\phi \omega^{-1} J_\phi^T = \omega^{-1}$.
• Amélioration des bornes de degré : Le papier affine le résultat de Tsuchimoto (Théorème 3.10). Il prouve que si $\deg(\phi(z_l)) + \deg(\phi(z_{n+l})) < 2p$ pour tout $l=1, \dots, n$, alors $\phi_Z$ est un morphisme de Poisson. Par conséquent, un tel $\phi$ admet un relèvement à $W_2(k)$. Cela améliore la borne précédente de $\deg(\phi) < p/2$ à une condition permettant effectivement $\deg(\phi) < p$.
• Injectivité et platitude : Sous la condition $\deg(\phi) < p$, les auteurs concluent que $\phi$ est injectif. Cela résout la question de l'injectivité pour cette plage de degrés, étendant les résultats connus pour $n=1$ et la caractéristique zéro. De plus, si $\phi$ est birationnel et $\deg(\phi) < p$, il est montré qu'il est un automorphisme.
• Critère différentiel pour le relèvement : Le papier fournit un critère explicite (Proposition 3.15) pour qu'un $\phi_Z$ soit un morphisme de Poisson. Cela implique de résoudre des équations différentielles spécifiques de la forme $\frac{\partial^{p-1}}{\partial x_i^{p-1}} (\dots) = f^p + \frac{\partial^{p-1}f}{\partial x_i^{p-1}}$. Le relèvement existe si et seulement si les solutions $f_i$ de ces équations satisfont la condition de symétrie $\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i}$.

Signification
Le papier affirme sa signification en unifiant le problème algébrique du relèvement des endomorphismes à la caractéristique $p^2$ avec la propriété géométrique de préservation de la structure de Poisson sur le centre. En établissant la relation « si et seulement si », les auteurs fournissent une caractérisation structurelle des endomorphismes relevant.

L'amélioration de la borne de degré de $p/2$ à $p$ (spécifiquement $\deg(\phi) < p$) est présentée comme un raffinement significatif du travail de Tsuchimoto. Cette borne est montrée comme étant optimale dans certains sens (via l'Exemple 3.11). Les résultats permettent aux auteurs de transférer des propriétés connues pour les algèbres de Weyl en caractéristique zéro (telles que l'injectivité et l'implication que les endomorphismes birationnels sont des automorphismes) vers le cadre de la caractéristique positive, à condition que le degré de l'endomorphisme soit suffisamment petit par rapport à la caractéristique $p$. Ce travail jette un pont entre la théorie des algèbres de Weyl en caractéristique zéro et en caractéristique positive, offrant de nouveaux outils pour analyser les endomorphismes dans ce dernier contexte.