Normalized solutions of quasilinear Schrödinger-Poisson system with critical nonlinear term in bounded domain

Resumen Técnico del Artículo: "Normalized solutions of quasilinear Schrödinger-Poisson system with critical nonlinear term in bounded domain"

Autores: Li Chen y Li Wang (Universidad de Jiaotong del Este de China).

1. Planteamiento del Problema

El artículo estudia la existencia y multiplicidad de soluciones normalizadas para un sistema acoplado de ecuaciones de Schrödinger-Poisson cuasilineales en un dominio acotado $\Omega_r \subset \mathbb{R}^3$. El sistema se define como:

$$\begin{cases} -\Delta u + \phi u + \lambda u = |u|^{q-2}u + |u|^4u, & x \in \Omega_r, \\ -\Delta \phi - \varepsilon^4 \Delta_4 \phi = u^2, & x \in \Omega_r, \\ u = \phi = 0, & x \in \partial\Omega_r, \end{cases}$$

sujeto a la condición de normalización (restricción de masa):
$$\int_{\Omega_r} |u|^2 dx = b^2,$$
donde:

• $\varepsilon > 0$ es un parámetro de no linealidad.
• $\Delta_4 \phi = \text{div}(|\nabla \phi|^2 \nabla \phi)$ es el operador 4-Laplaciano.
• $q \in (2, 8/3)$ es el exponente de la no linealidad subcrítica.
• El término $|u|^4u$ representa una no linealidad crítica (exponente Sobolev crítico en dimensión 3).
• $\lambda$ es un parámetro de frecuencia desconocido que surge como multiplicador de Lagrange debido a la restricción de norma $L^2$.

El objetivo principal es demostrar la existencia de múltiples familias de soluciones para valores pequeños de la masa $b$, y analizar el comportamiento asintótico cuando $\varepsilon \to 0$, recuperando el sistema clásico de Schrödinger-Poisson.

2. Metodología

Los autores enfrentan dos desafíos principales: la falta de estructura geométrica extrema en el funcional de energía bajo la restricción de norma y la pérdida de compacidad debido al término crítico y al término no local cuasilineal. Para abordar esto, emplean la siguiente metodología:

1. Reducción Variacional: Utilizan el método de reducción para eliminar la variable $\phi$. Dado $u$, se resuelve la ecuación de Poisson cuasilineal para obtener $\phi_\varepsilon(u)$, reduciendo el sistema a un funcional de energía univariable $E(u)$ definido en la variedad de restricción $S_{r,b} = \{u \in H^1_0(\Omega_r) : \|u\|_2 = b\}$.
2. Truncamiento del Funcional: Debido a la presencia del término crítico $|u|^6$ (que rompe la compacidad estándar) y la dificultad de aplicar métodos de minimización directa, introducen un funcional truncado $E_T(u)$. Este funcional modifica el término crítico fuera de una región de energía específica, permitiendo controlar el comportamiento de las secuencias de Palais-Smale (PS).
3. Principio de Concentración-Compacidad: Para recuperar la compacidad en presencia del exponente crítico, aplican el principio de concentración-compactidad de Lions (Lemmas 2.4 y 2.5). Esto permite analizar la posible concentración de masa en puntos singulares y demostrar que, bajo las condiciones dadas, no ocurre concentración, garantizando la convergencia fuerte de las secuencias.
4. Teoría de Género (Genus Theory): Para establecer la multiplicidad de soluciones, utilizan la teoría de género de Krasnoselskii. Dado que el funcional es par y la variedad $S_{r,b}$ es simétrica, definen niveles minimax basados en el género de conjuntos simétricos para encontrar múltiples puntos críticos.
5. Análisis Asintótico: Utilizan estimaciones de energía y convergencia débil para demostrar que, cuando $\varepsilon \to 0$, las soluciones del sistema cuasilineal convergen fuertemente a las soluciones del sistema clásico (lineal en la ecuación de Poisson).

3. Contribuciones Clave

• Resolución de la falta de compacidad: El trabajo aborda exitosamente la pérdida de compacidad inducida por el término crítico $|u|^4u$ en un dominio acotado, combinando técnicas de truncamiento con el principio de concentración-compactidad, algo que no es trivial en sistemas cuasilineales.
• Existencia de Múltiples Soluciones Normalizadas: A diferencia de estudios previos que se centraban en soluciones de energía mínima o en dominios no acotados, este artículo prueba la existencia de $k$ familias distintas de soluciones normalizadas para cualquier $k \in \mathbb{N}$, siempre que la masa $b$ sea suficientemente pequeña ($b < b^*$).
• Tratamiento del Término Cuasilineal: Se maneja la complejidad introducida por el operador 4-Laplaciano en la ecuación de Poisson, demostrando la continuidad y propiedades de convergencia del operador $\phi_\varepsilon(u)$.
• Límite Asintótico Riguroso: Se establece rigurosamente que el sistema cuasilineal converge al sistema clásico de Schrödinger-Poisson cuando $\varepsilon \to 0$, validando la consistencia física del modelo en el límite de campos débiles o escalas pequeñas.

4. Resultados Principales

Teorema 1.1 (Multiplicidad):
Para cualquier entero fijo $k \in \mathbb{N}$, existe una constante $b^* > 0$ tal que para cualquier masa $b \in (0, b^*)$, el sistema (1.1) posee al menos $k$ soluciones distintas $(u_j, \phi_j, \lambda_j)$ que satisfacen la condición de normalización. Estas soluciones pertenecen al espacio $H^1_0(\Omega_r) \times (H^1_0(\Omega_r) \cap W^{1,4}_0(\Omega_r)) \times \mathbb{R}$.

Teorema 1.2 (Comportamiento Asintótico):
Para cada $\varepsilon > 0$, sean $(u_{j,\varepsilon}, \phi_{j,\varepsilon}, \lambda_{j,\varepsilon})$ las soluciones obtenidas en el Teorema 1.1. Cuando $\varepsilon \to 0$, existe una subsecuencia que converge fuertemente en $H^1_0(\Omega_r)$ a una solución $(u_{j,0}, \phi_{j,0}, \lambda_{j,0})$ del sistema límite clásico (donde $\varepsilon=0$ y la ecuación de Poisson es lineal: $-\Delta \phi = u^2$).

5. Significado e Impacto

Este trabajo extiende significativamente la literatura existente sobre sistemas de Schrödinger-Poisson al:

1. Incorporar términos críticos en dominios acotados bajo restricciones de norma $L^2$, un escenario matemáticamente desafiante debido a la falta de compacidad.
2. Proporcionar un marco para la multiplicidad de soluciones normalizadas en sistemas cuasilineales, llenando un vacío en la literatura donde la mayoría de los resultados se centraban en soluciones de energía mínima o en espacios no acotados.
3. Ofrecer una justificación matemática rigurosa para la transición entre modelos de semiconductores cuasilineales (ultra-pequeña escala) y modelos clásicos, lo cual es relevante para la física de nanoestructuras y la óptica no lineal.

El enfoque metodológico, que combina el truncamiento, la teoría de género y el principio de concentración-compactidad, establece un precedente para el estudio de otros problemas variacionales con no linealidades críticas y términos no locales en dominios acotados.