Normalized solutions of quasilinear Schrödinger-Poisson system with critical nonlinear term in bounded domain

1. O Problema Investigado

O artigo foca na análise de um sistema de Schrödinger-Poisson quasilinear acoplado, definido em um domínio limitado $\Omega_r \subset \mathbb{R}^3$, sujeito a uma condição de normalização (restrição de massa). O sistema é dado por:

$$\begin{cases} -\Delta u + \phi u + \lambda u = |u|^{q-2}u + |u|^4 u, & x \in \Omega_r, \\ -\Delta \phi - \varepsilon^4 \Delta_4 \phi = u^2, & x \in \Omega_r, \\ u = \phi = 0, & x \in \partial \Omega_r, \end{cases}$$

com a restrição de normalização:
$$\int_{\Omega_r} |u|^2 dx = b^2,$$
onde:

• $u$ representa a função de onda e $\phi$ o potencial elétrico.
• $\lambda$ é um parâmetro de frequência desconhecido que surge como um multiplicador de Lagrange devido à restrição de massa.
• $\varepsilon > 0$ é uma constante pequena.
• $\Delta_4 \phi = \text{div}(|\nabla \phi|^2 \nabla \phi)$ é o operador 4-Laplaciano, introduzindo não-linearidade no termo de Poisson.
• O termo não linear na equação de Schrödinger inclui um termo crítico $|u|^4 u$ (exponencial crítico em dimensão 3, correspondendo ao expoente de Sobolev $2^*=6$) e um termo subcrítico $|u|^{q-2}u$ com $q \in (2, 8/3)$.

O objetivo principal é estabelecer a existência de múltiplas soluções normalizadas (pares $(u, \phi)$ com multiplicador $\lambda$) e analisar o comportamento assintótico dessas soluções quando o parâmetro de não-linearidade $\varepsilon \to 0$, recuperando o sistema clássico de Schrödinger-Poisson.

2. Metodologia

Os autores enfrentam dois desafios principais: a falta de estrutura geométrica extrema no funcional de energia (impedindo métodos de minimização direta) e a perda de compacidade devido ao termo crítico e ao domínio limitado. Para superar isso, utilizam uma combinação sofisticada de técnicas variacionais:

1. Redução de Dimensão:

   • Utilizando o método de redução introduzido em trabalhos anteriores, o sistema acoplado é reduzido a um único funcional variacional $E(u)$ definido apenas sobre a variedade de restrição $S_{r,b} = \{u \in H^1_0(\Omega_r) : \|u\|_2 = b\}$.
   • O potencial $\phi$ é expresso como uma função de $u$ ($\phi_\varepsilon(u)$), que é a solução única da equação de Poisson quasilinear associada.

2. Truncamento do Funcional:

   • Devido à presença do termo crítico $|u|^6$ (na integral de energia), o funcional original não satisfaz a condição de Palais-Smale (PS) globalmente.
   • Os autores introduzem uma função de corte suave $T(\|\nabla u\|_2)$ para definir um funcional truncado $E_T(u)$. Este truncamento é projetado para manter a estrutura do problema em níveis de energia baixos (onde as soluções desejadas residem) enquanto controla o comportamento no infinito, restaurando a compacidade em faixas de energia específicas.

3. Teoria do Gênero (Genus Theory):

   • Para provar a existência de múltiplas soluções (não apenas uma), os autores empregam a teoria do gênero de Krasnoselskii.
   • Definindo conjuntos simétricos na variedade $S_{r,b}$, eles calculam níveis minimax $d_k$. A simetria do funcional permite aplicar o teorema que garante a existência de pelo menos $k$ pares de soluções críticas distintas para cada $k \in \mathbb{N}$, desde que a massa $b$ seja suficientemente pequena.

4. Princípio de Concentração-Compacidade:

   • Para lidar com a falta de compacidade induzida pelo expoente crítico de Sobolev ($2^*=6$) e garantir que as sequências de Palais-Smale converjam fortemente, os autores aplicam o Princípio de Concentração-Compacidade de Lions.
   • Eles analisam a possível concentração de massa em pontos singulares e demonstram que, sob as condições impostas (especificamente a escolha de $q \in (2, 8/3)$ e $b$ pequeno), tal concentração não ocorre, permitindo a convergência forte na norma $H^1_0$.

5. Análise Assintótica ($\varepsilon \to 0$):

   • Estuda-se o limite das soluções $(u_{j,\varepsilon}, \phi_{j,\varepsilon})$ quando $\varepsilon \to 0$.
   • Utiliza-se estimativas de energia e propriedades de continuidade do operador $\phi_\varepsilon$ para mostrar que o termo $\varepsilon^4 \Delta_4 \phi$ desaparece, e o sistema converge para o sistema clássico de Schrödinger-Poisson com equação de Poisson linear ($-\Delta \phi = u^2$).

3. Principais Resultados

O artigo estabelece dois teoremas fundamentais:

• Teorema 1.1 (Existência de Múltiplas Soluções):
  Para qualquer inteiro fixo $k \in \mathbb{N}$, existe uma constante $b^* > 0$ tal que, para qualquer massa $b \in (0, b^*)$, o sistema (1.1) possui pelo menos $k$ soluções distintas $(u_j, \phi_j, \lambda_j)$ que satisfazem a condição de normalização. As soluções pertencem ao espaço $H^1_0(\Omega_r) \times (H^1_0(\Omega_r) \cap W^{1,4}_0(\Omega_r)) \times \mathbb{R}$.

• Teorema 1.2 (Comportamento Assintótico):
  As soluções obtidas no Teorema 1.1, denotadas por $(u_{j,\varepsilon}, \phi_{j,\varepsilon}, \lambda_{j,\varepsilon})$, convergem fortemente (em $H^1_0$ e $L^6$) para uma solução $(u_{j,0}, \phi_{j,0}, \lambda_{j,0})$ do sistema clássico de Schrödinger-Poisson (com $\varepsilon = 0$) quando $\varepsilon \to 0$. O limite satisfaz:
  $$\begin{cases} -\Delta u + \phi u = \lambda u + |u|^{q-2}u + |u|^4 u, \\ -\Delta \phi = u^2, \\ \int_{\Omega_r} u^2 dx = b^2. \end{cases}$$

4. Contribuições Chave e Significância

• Generalização de Resultados Existentes: O trabalho estende resultados anteriores que tratavam de sistemas em todo o espaço $\mathbb{R}^3$ ou com condições de crescimento não-crítico, focando agora em domínios limitados com termos críticos.
• Tratamento de Não-Linearidade Quasilinear: A presença do termo $\Delta_4 \phi$ (não-linearidade no Poisson) em um domínio limitado com condição de normalização é um cenário matematicamente desafiador. O artigo fornece uma estrutura rigorosa para lidar com essa complexidade combinada com o termo crítico de Schrödinger.
• Superação da Falta de Compacidade: A aplicação combinada de truncamento e do princípio de concentração-compacidade para garantir a existência de soluções normalizadas em presença de expoentes críticos é uma contribuição metodológica significativa.
• Validação Física: O resultado assintótico ($\varepsilon \to 0$) valida matematicamente a transição do modelo quasilinear (usado para estruturas de nanoescala ultra-pequenas onde efeitos não-lineares no campo elétrico são relevantes) para o modelo clássico de Schrödinger-Poisson, conectando a teoria matemática com a física de semicondutores.
• Multiplicidade de Soluções: Diferente de muitos trabalhos que provam apenas a existência de uma solução de ground state, este artigo demonstra a existência de famílias infinitas de soluções normalizadas (pelo menos $k$ para qualquer $k$), enriquecendo o entendimento do espectro de soluções do sistema.

Em resumo, o artigo oferece uma análise variacional robusta para um sistema de equações diferenciais parciais acopladas de alta complexidade, resolvendo problemas de existência e multiplicidade em contextos onde a compacidade padrão falha, e fornecendo insights sobre a estabilidade desses modelos físicos sob perturbações de parâmetros.