Exceptional supercuspidal representations in small residue characteristic

Resumen Técnico: Representaciones Supercuspidales Excepcionales en Pequeña Característica de Residuo

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la construcción de representaciones supercuspidales para grupos reductivos conexos $G(k)$ sobre un campo local no arquimediano $k$, específicamente en el caso donde la característica del residuo $p$ es pequeña ($p=2$ o $p=3$).

• Contexto: La teoría de representaciones supercuspidales está bien establecida para $p$ grande mediante la construcción de Yu (completada por Kim y Fintzen), que es exhaustiva cuando $p$ no divide al orden del grupo de Weyl. Para $p$ pequeño, existen lagunas en la clasificación.
• Limitación de Métodos Previos: Las construcciones de Reeder-Yu (2014) y Gross-Reeder (2010) producen representaciones "epipelágicas" (de profundidad positiva) basadas en funcionales estables en el cociente $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$. Sin embargo, en características pequeñas ($p=2, 3$), la abelianización de los subgrupos compactos abiertos es más compleja; el cociente $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$ no captura todos los caracteres posibles, y la condición de estabilidad geométrica clásica (Teoría de Invariantes Geométricos) es demasiado restrictiva o no se aplica directamente a los nuevos espacios vectoriales que surgen.
• Objetivo: Extender la construcción de Reeder-Yu para producir nuevas representaciones supercuspidales de mayor profundidad que no surgen de la construcción estándar de Yu, aprovechando la estructura especial de la abelianización en pequeña característica.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de teoría de grupos de Lie sobre campos locales, teoría de edificios de Bruhat-Tits y teoría de invariantes.

• Análisis de la Abelianización:

  • Se estudia el subgrupo $G(k)_{x,+}$ (el primer término positivo de la filtración de Moy-Prasad) asociado a un punto $x$ (baricentro de una faceta) en el edificio de Bruhat-Tits.
  • Se demuestra que para $p > 2$, la abelianización de $G(k)_{x,+}$ es esencialmente $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$.
  • Hallazgo Crítico: Para $p=2$ y $p=3$, la abelianización $V(x)$ de $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,1}$ es mayor que el cociente estándar. El autor desarrolla un algoritmo explícito para calcular esta abelianización $V(x)$, identificando un conjunto de raíces afines $S(x)$ que generan el espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_q$. Este espacio incluye combinaciones de raíces que no están presentes en la filtración estándar.

• Definición de Estabilidad Débil ($\mathbb{F}_q$-estabilidad):

  • Dado que $V(x)$ no admite necesariamente una representación algebraica del grupo reductivo residual $G_x$ definida sobre $\mathbb{F}_q$ (a diferencia del caso de profundidad cero o $p$ grande), la noción clásica de "funcional estable" (criterio de Hilbert-Mumford para órbitas cerradas) falla.
  • El autor introduce una noción más débil: $\mathbb{F}_q$-estabilidad. Un funcional $\lambda \in V(x)^\vee$ es $\mathbb{F}_q$-estable si, para cualquier subgrupo uniparamétrico definido sobre $\mathbb{F}_q$ ($\gamma: \mathbb{G}_m \to G_x$) y cualquier elemento $g \in G_x(\mathbb{F}_q)$, existe un elemento en el soporte de $g \cdot \lambda$ que tiene peso positivo bajo $\gamma$.
  • Esta condición es estrictamente más débil que la estabilidad geométrica, permitiendo la existencia de funcionales estables en casos donde no hay vectores estables clásicos (ej. representaciones adjuntas de $SL_2$ sobre $\mathbb{F}_2$).

• Inducción Compactly Inducida:

  • Se construyen las representaciones $\pi_\lambda = \text{ind}_{G(k)_{x,+}}^{G(k)} \chi_\lambda$, donde $\chi_\lambda$ es la inflación de un carácter asociado a un funcional $\mathbb{F}_q$-estable.
  • Se utiliza la teoría de entrelazamiento (intertwining) y la descomposición de Bruhat afín para probar que estas representaciones son supercuspidales.

3. Contribuciones Clave

1. Generalización de la Construcción de Reeder-Yu: Se extiende la inducción compacta más allá del cociente $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$, utilizando la estructura completa de la abelianización en pequeña característica.
2. Algoritmo de Cálculo de Abelianización: Se proporciona un procedimiento algorítmico para determinar la estructura de $V(x)$ (el espacio de caracteres) para grupos simples en $p=2$, identificando dependencias lineales entre raíces afines que generan nuevos caracteres.
3. Noción de $\mathbb{F}_q$-estabilidad: Se formaliza una condición de estabilidad adaptada a la aritmética de campos finitos pequeños, que es suficiente para garantizar la irreducibilidad y supercuspidalidad, aunque no garantiza la estabilidad geométrica clásica.
4. Identificación de Nuevas Representaciones: Se demuestra que existen representaciones epipelágicas que no provienen de la construcción de Yu ni de la de Reeder-Yu estándar, debido a diferencias en la profundidad o en el grado formal.

4. Resultados Principales

El teorema central (Teorema 3.3.7) establece que si $\lambda$ es un funcional $\mathbb{F}_q$-estable, entonces $\pi_\lambda$ es una suma directa finita de representaciones supercuspidales irreducibles.

El autor ilustra esto con tres ejemplos concretos:

• Caso $G = G_2, q=2$:

  • Se construyen dos representaciones supercuspidales irreducibles.
  • Se demuestra que son isomorfas a las representaciones epipelágicas construidas por Reeder-Yu desde un punto diferente en el edificio, mostrando la conexión entre diferentes puntos de construcción.

• Caso $G$ tipo $B_n, q=2$:

  • Se producen representaciones de profundidad $\frac{1}{2(n-1)}$.
  • Resultado Importante: Al menos una de estas representaciones no surge de la construcción de Reeder-Yu. Esto se debe a que la profundidad de las representaciones de Reeder-Yu en este contexto está restringida a valores de la forma $m/2^n$, mientras que la nueva construcción alcanza $\frac{1}{2(n-1)}$.
  • Se analiza el conjunto de entrelazamiento, mostrando que para $G = Spin_{2n+1}$ la representación se descompone en dos componentes, y para $SO_{2n+1}$ en cuatro.

• Caso $G = G_2, p=3$:

  • Se construye una representación supercuspidal epipelágica de profundidad $1/2$.
  • Resultado Importante: Esta representación no proviene de la construcción de Reeder-Yu. La prueba se basa en el grado formal: el grado formal de las representaciones de Reeder-Yu en este contexto implica que el grupo de estabilizador $A_\lambda$ debe tener orden divisible por 3. Sin embargo, se demuestra que no existen elementos de orden 3 en el grupo residual que estabilicen un vector estable clásico, lo que excluye la posibilidad de que esta representación provenga de la construcción estándar.

5. Significado e Impacto

• Llenado de Vacíos en la Clasificación: El trabajo cierra brechas en la clasificación de representaciones supercuspidales para grupos excepcionales y de tipo clásico en características muy pequeñas ($p=2, 3$), donde los métodos de Yu no son exhaustivos.
• Nueva Perspectiva sobre la Estabilidad: Introduce una noción de estabilidad aritmética ($\mathbb{F}_q$-estabilidad) que es más flexible que la estabilidad geométrica, permitiendo acceder a representaciones que de otro modo permanecerían ocultas.
• Profundidad y Grado Formal: Proporciona contraejemplos y nuevos ejemplos que desafían la intuición sobre la relación entre la profundidad de una representación y su origen en la construcción de Yu, demostrando que la profundidad puede ser un invariante discriminante para distinguir entre diferentes familias de construcciones.
• Conexión con la Correspondencia de Langlands: El artículo sugiere (en la sección de observaciones) cómo estos resultados podrían relacionarse con parámetros de Langlands salvajes, indicando que el conductor de Swan de los parámetros asociados a estas nuevas representaciones es mayor que el de las representaciones simples supercuspidales estándar.

En resumen, el artículo de Yiannis Fam es un avance significativo en la teoría de representaciones de grupos p-adicos, proporcionando herramientas técnicas y ejemplos explícitos que expanden el horizonte de las representaciones supercuspidales conocidas en los casos más difíciles (pequeña característica).