Exceptional supercuspidal representations in small residue characteristic

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans la théorie des représentations des groupes réductifs sur un corps local non archimédien $k$ de caractéristique résiduelle $p$. L'objectif principal est la construction de représentations supercuspidales pour un groupe réductif déployé simple $G(k)$.

• État de l'art : La construction de Yu [Yu01], étendue par Kim [Kim07] et Fintzen [Fin21], est exhaustive lorsque $p$ est suffisamment grand (ne divisant pas l'ordre du groupe de Weyl). Pour $p$ petit (notamment $p=2$ et $p=3$), ou pour des groupes exceptionnels, cette construction ne couvre pas toutes les représentations supercuspidales.
• Limites des constructions existantes : Les représentations « épi-pélagiques » (epipelagic) construites par Reeder et Yu [RY14] généralisent les représentations supercuspidales simples de Gross-Reeder [GR10]. Cependant, ces constructions reposent sur la stabilité géométrique (théorie des invariants géométriques) de fonctionnels linéaires sur le quotient $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$.
• Le problème spécifique : En petite caractéristique résiduelle ($p=2, 3$), l'abélianisation du sous-groupe $G(k)_{x,+}$ (le premier terme positif de la filtration de Moy-Prasad) est plus grande que le quotient usuel $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$. Les constructions de Reeder-Yu ne peuvent pas exploiter les caractères qui ne se factorisent pas à travers ce quotient usuel, laissant de côté une classe potentielle de représentations supercuspidales.

2. Méthodologie

L'auteur propose une extension de la construction de Reeder-Yu en exploitant la structure fine de l'abélianisation de $G(k)_{x,+}$ en petite caractéristique.

A. Analyse de l'abélianisation (Section 2)

• Objectif : Décrire explicitement l'abélianisation $V(x)$ du groupe $G(k)_{x,+}$ modulo $G(k)_{x,1}$.
• Résultat clé : Pour $p > 2$, l'abélianisation coïncide avec $G(k)_{x,+}/G(k)_{x,++}$. En revanche, pour $p=2$ ou $p=3$, l'abélianisation $V(x)$ est strictement plus grande.
• Algorithme : L'auteur développe un algorithme pour calculer une base de $V(x)$ en tant qu'espace vectoriel sur $\mathbb{F}_q$. Cette base est indexée par un ensemble $S(x)$ d' racines affines (ou de tuples de racines) qui dépend de la géométrie du point $x$ (barycentre d'une facette) et de la caractéristique $p$.
• Structure : $V(x)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_q$ muni d'une action naturelle du groupe réductif résiduel $G_x$.

B. Nouvelle notion de stabilité : $F_q$-stabilité (Section 3)

• Critère classique : Dans [RY14], un fonctionnel $\lambda$ est stable si son orbite est fermée et son stabilisateur fini (critère de Hilbert-Mumford pour tous les sous-groupes à un paramètre).
• Nouvelle définition (Définition 3.3.1) : L'auteur introduit la notion de $F_q$-stabilité. Un fonctionnel $\lambda \in V(x)^\vee$ est $F_q$-stable si le critère de Hilbert-Mumford est satisfait uniquement pour les sous-groupes à un paramètre définis sur $\mathbb{F}_q$ (c'est-à-dire les éléments de $X_*(T)$ agissant via $G_x(\mathbb{F}_q)$).
• Justification : En petite caractéristique, l'action de $G_x$ sur $V(x)$ peut être différente de celle sur $V(x) \otimes \overline{\mathbb{F}}_q$. Il existe des fonctionnels qui ne sont pas stables au sens géométrique classique mais qui sont $F_q$-stables.

C. Construction des représentations

• Soit $\chi$ un caractère additif non trivial de $\mathbb{F}_q$.
• Pour un fonctionnel $F_q$-stable $\lambda$, on définit le caractère $\chi_\lambda$ sur $G(k)_{x,+}$ par inflation.
• On considère la représentation induite compactement : $\pi_\lambda = \text{ind}_{G(k)_{x,+}}^{G(k)} \chi_\lambda$.
• Théorème principal (Théorème 3.3.7) : Si $\lambda$ est $F_q$-stable, alors $\pi_\lambda$ se décompose en une somme directe finie de représentations supercuspidales irréductibles. La preuve repose sur l'analyse des ensembles d'entrelacement (intertwining sets) et montre qu'ils sont finis modulo le sous-groupe compact.

3. Résultats Principaux et Exemples (Section 4)

L'auteur applique cette théorie à des cas concrets pour démontrer l'existence de nouvelles représentations.

Cas 1 : $G = G_2$ et $q=2$

• L'auteur construit deux représentations supercuspidales irréductibles à partir d'un point $x$ (barycentre d'une alcôve).
• Il montre que ces représentations sont isomorphes à celles construites par Reeder-Yu à partir d'un point différent $y$ dans l'immeuble. Cela illustre que la nouvelle méthode peut retrouver des représentations connues via des points différents.

Cas 2 : $G$ de type $B_n$ et $q=2$

• Profondeur : Les représentations construites ont une profondeur d'au moins $\frac{1}{2(n-1)}$.
• Nouveauté : Pour $n \ge 3$, au moins une des composantes irréductibles a une profondeur qui ne correspond à aucune profondeur possible pour les représentations construites par Reeder-Yu (qui sont de la forme $m/2n$).
• Conclusion : Ces représentations sont de nouvelles représentations épi-pélagiques qui ne proviennent pas de la construction de Reeder-Yu.

Cas 3 : $G = G_2$ et $p=3$

• L'auteur construit une représentation supercuspidale de profondeur $1/2$.
• Preuve de nouveauté : En utilisant le degré formel, il démontre que cette représentation ne peut pas provenir de la construction de Reeder-Yu. Les représentations de Reeder-Yu pour $G_2$ en profondeur $1/2$ proviennent de points conjugués à $\frac{1}{2}(\omega_1^\vee + \omega_2^\vee)$, mais les propriétés de stabilité et de degré formel de la nouvelle construction sont incompatibles avec celles-ci.
• Paramètre de Langlands : L'auteur esquisse une analyse du paramètre de Langlands $\phi$ associé, suggérant que le conducteur de Swan est $b(\phi)=4$ (contre 2 pour les représentations simples), ce qui confirme la nature « exceptionnelle » de ces représentations.

4. Contributions Clés

1. Extension de la construction de Reeder-Yu : Le papier généralise la méthode de construction des représentations épi-pélagiques aux cas où l'abélianisation de $G(k)_{x,+}$ est plus grande que le quotient usuel, spécifiquement en caractéristiques 2 et 3.
2. Notion de $F_q$-stabilité : Introduction d'une condition de stabilité plus faible, adaptée à la structure des points rationnels sur $\mathbb{F}_q$, permettant d'utiliser des fonctionnels précédemment rejetés.
3. Découverte de nouvelles représentations : Démonstration explicite de l'existence de représentations supercuspidales irréductibles pour $G_2$ (en $p=3$) et $B_n$ (en $q=2$) qui échappent à la classification de Yu et à la construction de Reeder-Yu.
4. Calculs explicites : Fourniture d'algorithmes pour déterminer l'abélianisation $V(x)$ et des exemples concrets de calculs d'ensembles d'entrelacement et de degrés formels.

5. Signification

Ce travail est significatif car il comble un vide dans la classification des représentations supercuspidales pour les groupes réductifs en petite caractéristique résiduelle. Il montre que la théorie de Reeder-Yu, bien que puissante, n'est pas exhaustive même pour les groupes simples, et qu'il existe une richesse supplémentaire dans la structure des groupes de Moy-Prasad en caractéristique 2 et 3.

La méthode ouvre la voie à la découverte d'autres représentations « exceptionnelles » et fournit un cadre pour étudier leurs paramètres de Langlands, contribuant ainsi à la conjecture de Langlands locale pour les petits $p$. Les résultats suggèrent également que la correspondance entre les points de l'immeuble et les représentations supercuspidales est plus complexe et riche que prévu dans ces caractéristiques.