Geometry-Aware Uncertainty Quantification via Conformal Prediction on Manifolds

Resumen Técnico: Cuantificación de la Incertidumbre con Conciencia Geométrica mediante Predicción Conforme en Variedades

Planteamiento del Problema
La predicción conforme (CP, por sus siglas en inglés) proporciona garantías de cobertura de muestra finita y sin distribución para tareas de regresión. Sin embargo, las construcciones estándar de CP están diseñadas para espacios de salida euclidianos, utilizando residuos euclidianos y regiones basadas en coordenadas. Cuando la variable de respuesta $Y$ reside en una variedad de Riemann (por ejemplo, la esfera unidad $S^2$ para direcciones geomagnéticas, el toro para ángulos proteicos o grupos de rotación para orientaciones de naves espaciales), estos enfoques estándar fallan al no respetar la geometría intrínseca del espacio de respuesta.

Surgen dos problemas primarios en este entorno:

1. Desajuste Geométrico: Los residuos estándar suelen depender de distancias basadas en coordenadas (por ejemplo, latitud/longitud). En espacios curvos, estas distancias dependen del mapa de coordenadas elegido en lugar de la discrepancia intrínseca entre las respuestas. Por ejemplo, un rectángulo de ancho fijo en coordenadas tiene un área que varía según la latitud (reduciéndose cerca de los polos), mientras que un casquete geodésico de radio intrínseco fijo mantiene un área constante independientemente de su ubicación.
2. Heterocedasticidad: La dificultad de la predicción rara vez es constante en todo el espacio de entrada. En tareas como el pronóstico geomagnético, las tasas de variación secular difieren significamente según la región. Un conjunto de predicción de ancho constante tiende a sobre-cubrir regiones "fáciles" y a sub-cubrir regiones "difíciles". Mientras que la regresión euclidiana aborda esto normalizando los residuos con estimaciones de dificultad local, los métodos de CP con valores en variedades no han adaptado explícitamente este concepto a la geometría intrínseca.

Metodología
Los autores proponen la Predicción Conforme Geodésica Adaptativa, un marco que integra la geometría intrínseca con la adaptatividad local dentro del entorno de predicción conforme dividida (split-conformal prediction).

• Configuración: Los datos se dividen en un conjunto de entrenamiento ($D_{tr}$), un conjunto de calibración ($D_{cal}$) y un conjunto de prueba. Se entrenan un predictor de punto base $\hat{y}: \mathcal{X} \to \mathcal{M}$ y un estimador de dificultad $\hat{\sigma}: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^+$ utilizando únicamente $D_{tr}$.
• Puntuaciones de No Conformidad: El método compara tres estrategias de puntuación:
  1. Coordenada Naive: Utiliza la distancia $L_\infty$ en coordenadas esféricas, produciendo rectángulos alineados con los ejes.
  2. Geodésica Estándar: Utiliza la distancia geodésica no normalizada $s_{geo}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y)$, produciendo bolas geodésicas de radio constante (casquetes esféricos).
  3. Geodésica Adaptativa (Propuesta): Define la puntuación como $s_{adapt}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y) / \hat{\sigma}(x)$.
• Estimación de la Dificultad: El estimador $\hat{\sigma}(x)$ se entrena mediante validación cruzada de 5 pliegues sobre $D_{tr}$ para predecir los residuos geodésicos del modelo base. Se entrena sin acceso a las etiquetas de calibración para asegurar garantías conformes válidas.
• Región de Predicción: Para un punto de prueba $x$, el conjunto de predicción es una bola geodésica centrada en $\hat{y}(x)$ con un radio determinado por el cuantil conforme $\hat{q}_\alpha$ escalado por la dificultad local: $C(x) = B_{geo}(\hat{y}(x), \hat{q}_\alpha \cdot \hat{\sigma}(x))$. Esto permite que el tamaño de la región se expanda en áreas difíciles y se contraiga en áreas fáciles, manteniendo la forma de un casquete geodésico.

Contribuciones Clave

1. Regiones con Conciencia Geométrica: El método construye conjuntos de predicción utilizando distancias geodésicas, asegurando que las áreas de las regiones (por ejemplo, casquetes esféricos) sean consistentes con la métrica de la variedad, evitando las distorsiones inherentes a los enfoques basados en coordenadas.
2. Calibración Localmente Adaptativa: Al escalar los residuos con un estimador de dificultad dependiente de la covariable entrenado únicamente con los datos de entrenamiento adecuados, el método adapta el tamaño de las regiones a la dificultad de predicción local sin utilizar las etiquetas de calibración para el ajuste del modelo.
3. Validación Empírica: El enfoque se valida en datos sintéticos de una esfera y en una tarea real de pronóstico de campo geomagnético, demostiendo mejoras en la uniformidad de la cobertura condicional y en la cobertura del peor caso, preservando al mismo tiempo las garantías de cobertura marginal.

Resultados Experimentales
El artículo evalúa el método en dos puntos de referencia: una esfera sintética con ruido heterocedástico y la tarea de pronóstico de campo geomagnético IGRF-14.

• Esfera Sintética ($S^2$):
  • Todos los métodos lograron una cobertura marginal válida cerca del nivel nominal de 0.90.
  • El método de Geodésica Adaptativa redujo la desviación estándar de la cobertura condicional en un 19% en comparación con el método de Geodésica Estándar.
  • La cobertura del peor bin mejoró de 0.814 (Estándar) a 0.839 (Adaptativo).
  • El método de Coordenada Naive requirió aproximadamente un 26% más de área que los métodos geodésicos para lograr una cobertura similar, lo que resalta el costo de la distorsión de coordenadas.
• Pronóstico Geomagnético IGRF-14:
  • La tarea consistió en predecir vectores de campo geomagnético en $S^2$ a través de 352 ubicaciones con una variación secular naturalmente heterocedástica (con una dificultad que variaba en un factor de 274).
  • El estimador de dificultad mostró una correlación de Pearson de $r=0.516$ con los residuos reales.
  • El método de Geodésica Adaptativa redujo la desviación estándar de la cobertura condicional en un 71% (0.031 vs. 0.107 para Geodésica Estándar).
  • La cobertura del peor bin aumentó significativamente de 0.689 (Estándar) a 0.855 (Adaptativo).
  • Se observó que el método de Geodésica Estándar sub-cubría las regiones ecuatoriales donde la evolución del campo es más rápida, mientras que el método adaptativo mantuvo una cobertura más cercana al objetivo nominal a través de las latitudes.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el método propuesto ofrece una solución práctica para la cuantificación de la incertidumbre en la regresión con valores en variedades. La significancia radica en la combinación de dos elecciones complementarias:

1. Adaptatividad: Escalar por $\hat{\sigma}(x)$ hace que las puntuaciones de conformidad sean comparables entre regiones de diferente dificultad.
2. Geometría: El uso de casquetes geodésicos asegura que el área del conjunto de predicción sea consistente con la métrica de la variedad, evitando las distorsiones inherentes a los enfoques basados en coordenadas.

Los autores señalan que la efectividad del método adaptativo está correlacionada con la calidad del estimador de dificultad. En el experimento IGRF-14, una correlación de $r=0.516$ produjo mejoras sustanciales. Sugieren que si la correlación entre la dificultad estimada y el error real es débil (por ejemplo, inferior a 0.15), el método de geodésica estándar puede ser preferible. El trabajo no pretende resolver todos los problemas de regresión en variedades, sino que proporciona un marco robusto para casos donde el espacio de respuesta es curvo y la dificultad de predicción varía espacialmente. Las direcciones futuras mencionadas incluyen la extensión del marco a datos no intercambiables y la exploración de regiones anisotrópicas para la incertidumbre dependiente de la dirección.