Geometry-Aware Uncertainty Quantification via Conformal Prediction on Manifolds

Resumo Técnico: Quantificação de Incerteza Sensível à Geometria via Predição Conforme em Variedades

Definição do Problema
A predição conforme (CP - Conformal Prediction) fornece garantias de cobertura de amostra finita e livre de distribuição para tarefas de regressão. No entanto, as construções padrão de CP são projetadas para espaços de saída euclidianos, utilizando resíduos euclidianos e regiões baseadas em coordenadas. Quando a variável de resposta $Y$ reside em uma variedade riemanniana (por exemplo, a esfera unitária $S^2$ para direções geomagnéticas, o toro para ângulos proteicos ou grupos de rotação para orientações de naves espaciais), essas abordagens padrão falham em respeitar a geometria intrínseca do espaço de resposta.

Dois problemas primários surgem neste cenário:

1. Desajuste Geométrico: Os resíduos padrão frequentemente dependem de distâncias baseadas em coordenadas (ex: latitude/longitude). Em espaços curvos, essas distâncias dependem do mapa (chart) escolhido, em vez da discrepância intrínseca entre as respostas. Por exemplo, um retângulo de largura fixa em coordenadas esféricas possui uma área que varia com a latitude (encolhendo próximo aos polos), enquanto um cap geodésico de raio intrínseco fixo mantém uma área constante, independentemente da localização.
2. Heterocedasticidade: A dificuldade de predição raramente é constante em todo o espaço de entrada. Em tarefas como a previsão geomagnética, as taxas de variação secular diferem significativamente por região. Um conjunto de predição de largura constante tende a supercoberturar regiões "fáceis" e subcoberturar regiões "difíceis". Embora a regressão euclidiana trate isso normalizando os resíduos com estimativas de dificuldade local, os métodos existentes de CP para valores em variedades não adaptaram explicitamente este conceito à geometria intrínseca.

Metodologia
Os autores propõem a Predição Conforme Geodésica Adaptativa, um framework que integra a geometria intrínseca com a adaptividade local dentro do cenário de predição conforme dividida (split-conformal prediction).

• Configuração: Os dados são divididos em um conjunto de treinamento ($D_{tr}$), um conjunto de calibração ($D_{cal}$) e um conjunto de teste. Um preditor de ponto base $\hat{y}: \mathcal{X} \to \mathcal{M}$ e um estimador de dificuldade $\hat{\sigma}: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^+$ são treinados usando apenas $D_{tr}$.
• Scores de Não Conformidade: O método compara três estratégias de pontuação:
  1. Coordenada Ingênua: Utiliza a distância $L_\infty$ em coordenadas esféricas, produzindo retângulos alinhados aos eixos.
  2. Geodésica Padrão: Utiliza a distância geodésica não normalizada $s_{geo}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y)$, produzindo bolas geodésicas de raio constante (caps esféricos).
  3. Geodésica Adaptativa (Proposta): Define o score como $s_{adapt}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y) / \hat{\sigma}(x)$.
• Estimativa de Dificuldade: O estimador $\hat{\sigma}(x)$ é treinado via validação cruzada de 5 dobras em $D_{tr}$ para prever os resíduos geodésicos do modelo base. Ele é treinado sem acesso aos rótulos de calibração para garantir garantias conformes válidas.
• Região de Predição: Para um ponto de teste $x$, o conjunto de predição é uma bola geodésica centrada em $\hat{y}(x)$ com um raio determinado pelo quantil conforme $\hat{q}_\alpha$ escalonado pela dificuldade local: $C(x) = B_{geo}(\hat{y}(x), \hat{q}_\alpha \cdot \hat{\sigma}(x))$. Isso permite que o tamanho da região se expanda em áreas difíceis e contraia em áreas fáceis, mantendo a forma de um cap geodésico.

Principais Contribuições

1. Regiões Sensíveis à Geometria: O método constrói conjuntos de predição usando distâncias geodésicas, garantindo que as áreas das regiões (ex: caps esféricos) sejam independentes da posição, respeitando assim a geometria intrínseca da variedade.
2. Calibração Localmente Adaptativa: Ao escalar os resíduos com uma estimativa de dificuldade dependente da covariável treinada exclusivamente nos dados de treinamento adequados, o método adapta o tamanho das regiões à dificuldade de predição local sem utilizar os rótulos de calibração para o ajuste do modelo.
3. Validação Empírica: A abordagem é validada em dados esféricos sintéticos e em uma tarefa real de previsão geomagnética, demonstrando melhorias na uniformidade da cobertura condicional e na cobertura de pior caso, preservando as garantias de cobertura marginal.

Resultos Experimentais
O artigo avalia o método em dois benchmarks: uma esfera sintética com ruído heterocedástico e a tarefa de previsão de campo geomagnético IGRF-14.

• Esfera Sintética ($S^2$):
  • Todos os métodos alcançaram cobertura marginal válida próxima ao nível nominal de 0,90.
  • O método Geodésico Adaptativo reduziu o desvio padrão da cobertura condicional em 19% em comparação ao método Geodésico Padrão.
  • A cobertura do pior bin (worst-bin coverage) melhorou de 0,814 (Padrão) para 0,839 (Adaptativo).
  • O método de Coordenada Ingênua exigiu aproximadamente 26% mais área do que os métodos geodésicos para atingir uma cobertura semelhante, destacando o custo da distorção de coordenadas.
• Previsão Geomagnética IGRF-14:
  • A tarefa envolveu a predição de vetores de campo geomagnético em $S^2$ através de 352 localizações com variação secular naturalmente heterocedástica (variando 274 vezes em dificuldade).
  • O estimador de dificuldade mostrou uma correlação de Pearson de $r=0,516$ com os resíduos reais.
  • O método Geodésico Adaptativo reduziu o desvio padrão da cobertura condicional em 71% (0,031 vs. 0,107 para o Geodésico Padrão).
  • A cobertura do pior bin aumentou significamente de 0,689 (Padrão) para 0,855 (Adaptativo).
  • Observou-se que o método Geodésico Padrão subcobertura as regiões equatoriais onde a evolução do campo é mais rápida, enquanto o método adaptativo manteve a cobertura mais próxima do alvo nominal através das latitudes.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o método proposto oferece uma solução prática para a quantificação de incerteza em regressão de valores em variedades. A significância reside na combinação de duas escolhas complementares:

1. Adaptatividade: Escalar por $\hat{\sigma}(x)$ torna os scores de conformidade comparáveis entre regiões de diferentes dificuldades.
2. Geometria: Usar caps geodésicos garante que a área do conjunto de predição seja consistente com a métrica da variedade, evitando as distorções inerentes às abordagens baseadas em coordenadas.

Os autores observam que a eficácia do método adaptativo correlaciona-se com a qualidade do estimador de dificuldade. No experimento IGRF-14, uma correlação de $r=0,516$ rendeu melhorias substanciais. Eles sugerem que, se a correlação entre a dificuldade estimada e o erro real for fraca (ex: abaixo de 0,15), o método geodésico padrão pode ser preferível. O trabalho não pretende resolver todos os problemas de regressão em variedades, mas fornece um framework robusto para casos onde o espaço de resposta é curvo e a dificuldade de predição varia espacialmente. Direções futuras mencionadas incluem a extensão do framework para dados não-permutáveis (non-exchangeable) e a exploração de regiões anisotrópicas para incerteza de direção dependente.