Geometry-Aware Uncertainty Quantification via Conformal Prediction on Manifolds

Résumé Technique : Quantification de l'Incertitude Géométriquement Sensible via la Prédiction Conforme sur les Variétés

Énoncé du Problème
La prédiction conforme (CP) fournit des garanties de couverture à échantillon fini et sans distribution pour les tâches de régression. Cependant, les constructions standards de la CP sont conçues pour des espaces de sortie euclidiens, utilisant des résidus euclidiens et des régions basées sur des coordonnées. Lorsque la variable de réponse $Y$ réside sur une variété riemannienne (par exemple, l'unité sphérique $S^2$ pour les directions géomagnétiques, le tore pour les angles protéiques, ou les groupes de rotation pour l'orientation des engins spatiaux), ces approches standards échouent à respecter la géométrie intrinsèque de l'espace de réponse.

Deux problèmes principaux surviennent dans ce contexte :

1. Inadéquation Géométrique : Les résidus standards reposent souvent sur des distances basées sur des coordonnées (ex: latitude/longitude). Sur des espaces courbes, ces distances dépendent du diagramme choisi plutôt que de la divergence intrinsèque entre les réponses. Par exemple, un rectangle de largeur fixe en coordonnées sur une sphère possède une aire qui varie selon la latitude (rétrécissant près des pôles), tandis qu'un cap géodésique de rayon intrinsèque fixe maintient une aire constante quelle que soit sa position.
2. Hétéroscédasticité : La difficulté de prédiction est rarement constante à travers l'espace d'entrée. Dans les tâches de prévision géomagnétique, par exemple, les taux de variation séculaire diffèrent considérablement selon les régions. Un ensemble de prédiction à largeur constante tend à sur-couvrir les régions « faciles » et à sous-couvrir les régions « difficiles ». Bien que la régression euclidienne traite cela en normalisant les résidus par des estimations de difficulté locale, les méthodes de CP à valeurs de variétés existantes n'ont pas explicitement adapté ce concept à la géométrie intrinsèque.

Méthodologie
Les auteurs proposent la Prédiction Conforme Géodésique Adaptative, un cadre qui intègre la géométrie intrinsèque avec l'adaptivité locale au sein du cadre de la prédiction conforme par division (split-conformal prediction).

• Configuration : Les données sont divisées en un ensemble d'entraînement ($D_{tr}$), un ensemble de calibration ($D_{cal}$) et un ensemble de test. Un prédicteur de point de base $\hat{y}: \mathcal{X} \to \mathcal{M}$ et un estimateur de difficulté $\hat{\sigma}: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^+$ sont entraînés en utilisant uniquement $D_{tr}$.
• Scores de non-conformité : La méthode compare trois stratégies de scoring :
  1. Coordonnées Naïves : Utilise la distance $L_\infty$ dans les coordonnées sphériques, produisant des rectangles alignés sur les axes.
  2. Géodésique Standard : Utilise la distance géodésique non normalisée $s_{geo}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y)$, produisant des boules géodésiques de rayon constant (calottes sphériques).
  3. Géodésique Adaptative (Proposée) : Définit le score comme $s_{adapt}(x, y) = d_{geo}(\hat{y}(x), y) / \hat{\sigma}(x)$.
• Estimation de la Difficulté : L'estimateur $\hat{\sigma}(x)$ est entraîné via une validation croisée à 5 plis sur $D_{tr}$ pour prédire les résidus géodésiques du modèle de base. Il est entraîné sans accès aux étiquettes de calibration afin de garantir la validité des garanties conformes.
• Région de Prédiction : Pour un point de test $x$, l'ensemble de prédiction est une boule géodésique centrée sur $\hat{y}(x)$ avec un rayon déterminé par le quantile conforme $\hat{q}_\alpha$ mis à l'échelle par la difficulté locale : $C(x) = B_{geo}(\hat{y}(x), \hat{q}_\alpha \cdot \hat{\sigma}(x))$. Cela permet à la taille de la région de s'étendre dans les zones difficiles et de se contracter dans les zones faciles tout en préservant la forme d'une calotte géodésique.

Contributions Clés

1. Régions Sensibles à la Géométrie : La méthode construit des ensembles de prédiction en utilisant des distances géodésiques, garantissant que l'aire des régions (ex: calottes géodésiques) est indépendante de la position, respectant ainsi la géométrie intrinsèque de la variété.
2. Calibration Localement Adaptative : En mettant à l'échelle les résidus avec une estimation de difficulté dépendant de la covariable, entraînée uniquement sur les données d'entraînement appropriées, la méthode adapte la taille des régions à la difficulté de prédiction locale sans utiliser les étiquettes de calibration pour l'ajustement du modèle.
3. Validation Empirique : L'approche est validée sur des données sphériques synthétiques et une tâche de prévision géomagnétique IGRF-14, démontrant des améliorations de l'uniformité de la couverture conditionnelle et de la couverture dans le pire des cas, tout en préservant les garanties de couverture marginale.

Résultats Expérimentaux
L'article évalue la méthode sur deux benchmarks : une sphère synthétique et la tâche de prévision du champ géomagnétique IGRF-14.

• Sphère Synthétique ($S^2$) :
  • Toutes les méthodes ont atteint une couverture marginale valide proche du niveau nominal de 0,90.
  • La méthode Géodésique Adaptative a réduit l'écart-type de la couverture conditionnelle de 19 % par rapport à la méthode Géodésique Standard.
  • La couverture du pire bin est passée de 0,814 (Standard) à 0,839 (Adaptative).
  • La méthode de Coordonnées Naïves a nécessité environ 26 % d'aire supplémentaire par rapport aux méthodes géodésiques pour atteindre une couverture similaire, soulignant le coût de la distorsion des coordonnées.
• Prévision Géomagnétique IGRF-14 :
  • La tâche consistait à prédire les vecteurs de champ géomagnétique sur $S^2$ à travers 352 localisations présentant naturellement une variation séculaire hétéroscédastique (allant d'un facteur de difficulté de 274).
  • L'estimateur de difficulté a montré une corrélation de Pearson $r=0,516$ avec les résidus réels.
  • La méthode Géodésique Adaptative a réduit l'écart-type de la couverture conditionnelle de 71 % (0,031 contre 0,107 pour la Géodésique Standard).
  • La couverture du pire bin a augmenté de manière significative de 0,689 (Standard) à 0,855 (Adaptative).
  • Il a été constaté que la méthode Géodésique Standard sous-couvre les régions équatoriales où l'évolution du champ est la plus rapide, tandis que la méthode adaptative maintient une couverture plus proche de la cible nominale à travers les latitudes.

Signification et Revendications
L'article affirme que la méthode proposée offre une solution pratique pour la quantification de l'incertitude dans la régression à valeurs de variétés. La signification réside dans la combinaison de deux choix complémentaires :

1. Adaptivité : La mise à l'échelle par $\hat{\sigma}(x)$ rend les scores de conformité comparables entre des régions de difficultés variables.
2. Géométrie : L'utilisation de calottes géodésiques garantit que l'aire de l'ensemble de prédiction est cohérente avec la métrique de la variété, évitant les distorsions inhérentes aux approches basées sur les coordonnées.

Les auteurs notent que l'efficacité de la méthode adaptative est corrélée à la qualité de l'estimateur de difficulté. Dans l'expérience IGRF-14, une corrélation de $r=0,516$ a permis d'obtenir des améliorations substantielles. Ils suggèrent que si la corrélation entre la difficulté estimée et l'erreur réelle est faible (ex: inférieure à 0,15), la méthode géodésique standard peut être préférable. Ce travail ne prétend pas résoudre tous les problèmes de régression sur les variétés, mais fournit un cadre robuste pour les cas où l'espace de réponse est courbe et où la difficulté de prédiction varie spatialement. Les directions futures mentionnées incluent l'extension du cadre aux données non échangeables et l'exploration de régions anisotropes pour une incertitude directionnelle.