GoldbachGPU: An Open Source GPU-Accelerated Framework for Verification of Goldbach's Conjecture

1. El Problema

La conjetura de Goldbach afirma que todo número entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. Aunque ha sido verificada computacionalmente hasta $4 \times 10^{18}$ en sistemas distribuidos masivos, la verificación en hardware de consumo (como una sola GPU) ha estado limitada históricamente por un "techo de memoria" (VRAM).

Los enfoques anteriores basados en GPU sufrían de una limitación arquitectónica: requerían almacenar una tabla de primos monolítica en la memoria de video (VRAM). Esto hacía que la verificación exhaustiva fuera inviable más allá de $10^{11}$ en tarjetas con 8 GB de VRAM, ya que la representación tradicional de bytes por número consumía demasiada memoria.

2. Metodología

El marco de trabajo GoldbachGPU introduce una arquitectura de criba doble segmentada que invierte el bucle de verificación tradicional para eliminar la dependencia de una tabla de primos global en la VRAM. La solución se basa en cinco herramientas complementarias:

• Representación de Bits Densa: Se utiliza un bitset compacto donde solo se almacenan los números impares (los pares no son primos). Esto reduce la huella de memoria en un factor de 16x en comparación con los arrays de bytes.
• Inversión del Bucle (Segmentación): En lugar de iterar sobre números pares $n$ y buscar primos $p$, el algoritmo itera sobre primos candidatos $p$ y marca los números pares $n$ para los cuales $q = n - p$ es primo.
• Oráculo de Primalidad de Tres Fases: Para determinar si $q$ es primo sin tener toda la tabla en VRAM, se utiliza una cadena de prioridad estricta:
  1. Pequeños primos ($q \le P_{SMALL}$): Búsqueda directa en un bitset residente permanente de ~122 KB.
  2. Segmento actual ($q \in [A, B]$): Búsqueda en el bitset del segmento actual (~14 MB) transferido a la VRAM.
  3. Zona de transición ($P_{SMALL} < q < A$): Prueba determinista de Miller-Rabin de 64 bits.
• Fallback Riguroso en CPU: Si la fase rápida de la GPU no encuentra una partición, un mecanismo de respaldo en CPU realiza una búsqueda exhaustiva para garantizar la completitud matemática (aunque nunca se activó en los experimentos).
• Verificación de Precisión Arbitraria: Una herramienta (big check) utiliza la librería GMP y OpenMP con una estrategia de búsqueda por lotes sincronizada para verificar números individuales de hasta $10^{10000}$.

3. Contribuciones Clave

• Arquitectura sin Techo de VRAM: La combinación de la representación densa de bits y el diseño de criba doble segmentada elimina la limitación de memoria, permitiendo verificar rangos arbitrariamente grandes en una sola GPU de consumo.
• Reducción de Memoria 16x: La implementación del bitset permite almacenar tablas de primos hasta $10^{11}$ en 8 GB de VRAM, algo imposible con representaciones de bytes.
• Complejidad Óptima: El diseño logra una complejidad temporal de $O(N)$ (tiempo de pared) y una complejidad de memoria de $O(1)$ en función de $N$ (el rango total), ya que el uso de VRAM se mantiene constante en ~14 MB por segmento.
• Código Abierto y Reproducible: Se proporciona una implementación completa, documentada y abierta que funciona tanto en hardware de consumo (RTX 3070) como en centros de datos (H100).

4. Resultados

Los experimentos se realizaron en un sistema con una NVIDIA RTX 3070 (8 GB VRAM) y un CPU Intel i7-12700H:

• Verificación Exhaustiva: Se logró verificar la conjetura hasta $10^{12}$ en una sola GPU en aproximadamente 41 minutos.
• Rendimiento:
  • En el rango de $10^9$, goldbach gpu3 fue un 16x más rápido que la implementación base en CPU.
  • A pesar de la sobrecarga de transferencia de segmentos, la escalabilidad es lineal.
• Éxito del Fallback: En todos los experimentos hasta $10^{12}$, el 100% de los casos se resolvieron en la "Fase 1" (GPU), confirmando empíricamente que el primo mínimo de Goldbach $p_{min}(n) \le 2 \times 10^6$ para todo $n \le 10^{12}$. El fallback en CPU nunca fue necesario.
• Precisión Arbitraria: Se verificó un número de 10,001 dígitos ($10^{10000}$) en 182 segundos utilizando 20 hilos, demostrando la viabilidad de la estrategia de lotes sincronizados.
• Escalabilidad Multi-GPU: En pruebas con 6 GPUs RTX 3090 y 4 GPUs H100, se observó una eficiencia de escalado fuerte superior al 90% hasta 4 GPUs, aunque el cuello de botella se desplazó a la generación de segmentos en CPU (criba segmentada) para rangos muy grandes.

5. Significado e Impacto

Este trabajo demuestra que las limitaciones de memoria en la verificación de la conjetura de Goldbach en GPU son arquitectónicas y no fundamentales. Al cambiar la estrategia de almacenamiento de una tabla monolítica a una segmentada con un oráculo híbrido, se ha superado la barrera de $10^{11}$ en hardware de consumo.

• Accesibilidad: Permite que investigadores con hardware estándar realicen verificaciones exhaustivas que antes requerían infraestructura distribuida masiva.
• Validación Empírica: Refuerza la "conjetura del cometa de Goldbach" al confirmar que las particiones con primos pequeños son abundantes incluso en rangos extremadamente altos.
• Futuro: Abre la puerta a futuras optimizaciones, como la implementación de una criba segmentada totalmente acelerada por GPU (eliminando la dependencia del CPU para la generación de primos) y el uso de operaciones bit a bit masivas para alcanzar rangos de $10^{15}$ o superiores en una sola tarjeta gráfica.

El código fuente está disponible públicamente, asegurando la transparencia y la reproducibilidad de los resultados matemáticos.