🔢 mathematics

GoldbachGPU: An Open Source GPU-Accelerated Framework for Verification of Goldbach's Conjecture

Dit paper introduceert GoldbachGPU, een open-source framework dat door middel van een gesegmenteerde dubbele zeef en een compacte bit-gecodeerde priemgetalrepresentatie de geheugenbeperkingen van eerdere GPU-benaderingen opheft, waardoor het mogelijk is om het vermoeden van Goldbach tot 10^12 te verifiëren op consumentenhardware en tot 10^10000 met willekeurige precisie, terwijl het perfect lineair schaalt over meerdere GPU's.

Oorspronkelijke auteurs: Isaac Llorente-Saguer

Gepubliceerd 2026-03-04

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Isaac Llorente-Saguer

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Raadsel: De Gouden Ketting

Stel je voor dat elk even getal (zoals 4, 6, 8, 10...) een gouden ketting is. De wiskundige Goldbach stelde in 1742 een heel simpel, maar onopgelost raadsel: Kan elke gouden ketting altijd worden opgebroken in twee stukken, waarbij elk stuk een "primaire" schakel is?

Een "primaire schakel" is een getal dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf (zoals 2, 3, 5, 7, 11...).
Bijvoorbeeld:

10 = 3 + 7 (beide zijn priemgetallen).
12 = 5 + 7.

Hoewel dit voor kleine getallen makkelijk te zien is, wordt het een enorme zoektocht bij heel grote getallen. Wiskundigen willen bewijzen dat dit altijd werkt, voor elk getal dat er bestaat. Omdat het te veel tijd kost om dit met pen en papier te doen, gebruiken ze computers.

Het Probleem: De "Kleine Koffer"

Voorheen probeerden onderzoekers dit met krachtige videokaarten (GPU's). Maar ze liepen tegen een muur op.
Stel je voor dat je een videokaart ziet als een kleine koffer (het geheugen, VRAM). Om alle priemgetallen tot een bepaald punt te vinden, moest je een enorme lijst in die koffer proppen.

Bij kleine getallen paste de lijst net.
Bij grote getallen (boven de 100 miljard) werd de lijst zo groot dat hij niet meer in de koffer paste.
De computer moest dan stoppen of heel traag worden omdat hij constant heen en weer moest lopen naar de hoofdgeheugen (de grote koffer in de kamer).

De Oplossing: De Slimme Verhuizer (GoldbachGPU)

De auteur, Isaac Llorente-Saguer, heeft een nieuwe manier bedacht om dit probleem op te lossen. Hij noemt zijn programma GoldbachGPU. Hij heeft twee slimme trucjes gebruikt:

1. De "Compacte Koffer" (Bit-packed)

Stel je voor dat je in plaats van voor elk priemgetal een heel groot boekje gebruikt, je nu een minuscule stip op een lijst zet.

Oude manier: Voor elk getal een heel vel papier gebruiken (1 byte).
Nieuwe manier: Alleen een stipje zetten (1 bit).
Dit maakt de lijst 16 keer kleiner. Hierdoor past er veel meer in de kleine koffer van de videokaart.

2. De "Stap-voor-stap Verhuizing" (Segmented Double-Sieve)

Dit is de echte doorbraak. In plaats van te proberen alles tegelijk in de koffer te proppen, deed hij het als een verhuizer die kamer voor kamer leegmaakt.

De strategie: Hij verdeelt de enorme lijst in kleine stukjes (segmenten), elk zo groot als een post-it (ongeveer 14 MB).
Het proces:
1. Hij pakt een klein stukje van de lijst, stopt dat in de videokaart-koffer.
2. De videokaart doet razendsnel zijn werk voor dat stukje.
3. Zodra klaar, gooit hij dat stukje weg en pakt hij het volgende stukje.
Het resultaat: De videokaart hoeft nooit meer dan één klein stukje tegelijk te dragen. De "muur" van het geheugen is verdwenen. Je kunt nu tot 1 biljoen (10^12) controleren op een gewone consumenten-videokaart (zoals een NVIDIA RTX 3070), terwijl dit voorheen onmogelijk was.

De Twee Manieren van Werken

Het programma gebruikt een slimme dubbel-check:

De Snelle Weg (GPU): De videokaart zoekt razendsnel naar een oplossing voor de meeste getallen. Omdat de lijst zo slim is ingedeeld, vindt hij bijna altijd direct een oplossing.
De Veilige Weg (CPU): Als de videokaart moe wordt of twijfelt, neemt de hoofdpersoon (de CPU) het over en doet het grondig, stap voor stap. In de praktijk bleek dit nooit nodig; de videokaart vond altijd een oplossing.

Wat hebben ze ontdekt?

Geen fouten gevonden: Ze hebben gecontroleerd tot aan het getal 1.000.000.000.000 (een biljoen). Overal bleek Goldbach gelijk te hebben: elk even getal kon worden opgesplitst in twee priemgetallen.
Schaalbaarheid: Het werkt niet alleen op gewone computers, maar kan ook worden opgeschaald naar datacenters met superkrachtige kaarten (zoals de H100).
Gigantische getallen: Ze hebben ook een speciale versie gemaakt om getallen te controleren die zo groot zijn dat ze niet in een normaal computergetal passen (tot wel 10.000 cijfers lang).

Waarom is dit belangrijk?

Vroeger dachten mensen dat je voor dit soort rekenwerk alleen maar supercomputers nodig had die duizenden euro's kosten. GoldbachGPU laat zien dat je met een gewone videokaart (die in veel gaming-computers zit) en slimme software net zo ver kunt komen als met dure systemen.

Het is alsof iemand een manier heeft gevonden om een heel grote berg zand (de getallen) te verplaatsen met een kleine schep, in plaats van een enorme graafmachine.

Kort samengevat:
De auteur heeft een slimme manier bedacht om de geheugenlimiet van videokaarten te omzeilen. Door de taak in kleine stukjes te hakken en de data supercompact te maken, kan een gewone computer nu bewijzen dat het gouden raadsel van Goldbach klopt tot aan een biljoen. En het beste van alles? De code is gratis en openbaar, zodat iedereen het kan gebruiken.

Titel: GoldbachGPU: Een Open-Source Framework voor GPU-versnelling ter Verificatie van de Gouden Conjecture

Auteur: Isaac Llorente-Saguer (Onafhankelijk Onderzoeker, Londen)
Datum: 4 maart 2026

1. Het Probleem

De Gouden Conjecture (uit 1742) stelt dat elk even getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen. Hoewel er theoretische vooruitgang is geboekt (zoals het bewijs van Chen en Helfgott), blijft de conjectuur onbewezen.

Huidige staat: Computerverificatie heeft het bereik uitgebreid tot $4 \times 10^{18}$ , maar dit vereist jarenlange gedistribueerde berekeningen op grote clusters.
GPU-beperkingen: Eerdere pogingen om dit op consument-GPU's (GPGPU) te doen, liepen vast op een harde geheugengrens (VRAM). Het opslaan van een monolithische tabel met priemgetallen in het videogeheugen werd onmogelijk boven de $10^{10}$ tot $10^{11}$ , wat de schaalbaarheid beperkte. Bestaande frameworks konden geen exhaustieve verificatie uitvoeren boven $10^{11}$ op één enkele GPU.

2. Methodologie: GoldbachGPU

Het paper introduceert GoldbachGPU, een open-source framework dat vijf complementaire verificatietools combineert. De kern van de innovatie ligt in het doorbreken van de VRAM-beperking door middel van een gesegmenteerde dubbele zeef-architectuur.

A. Dichte Bit-gepackte Representatie

In plaats van priemgetallen op te slaan als bytes (1 byte per getal), gebruikt het framework een bit-gepackte weergave voor oneven getallen.

Efficiëntie: Dit resulteert in een 16-voudige reductie in het geheugengebruik.
Resultaat: Een tabel tot $10^{11}$ past nu in 5,96 GB VRAM (binnen de limiet van een 8 GB GPU), terwijl een byte-array 95 GB zou vereisen.

B. Gesegmenteerde Dubbele Zeef (De Kerninnovatie)

Om de VRAM-grens volledig te verwijderen voor bereiken tot $10^{12}$ en hoger, implementeert het framework een strategie die geïnspireerd is op de loop-inversie van Oliveira e Silva:

Inversie van de verificatielus: In plaats van voor elk even getal $n$ te zoeken naar een priemgetal $p$ , wordt er iteratief over kandidaat-priemgetallen $p$ gelopen en worden alle even getallen $n$ gemarkeerd waarvoor $q = n - p$ priem is.
Segmentatie: De verificatie gebeurt in vaste segmenten (bijv. $10^7$ even getallen).
Multi-fase Primality Oracle: Voor elk getal $q$ $q$ in de vergelijking $n = p + q$ $n = p + q$ wordt de primaliteit bepaald via een prioriteitsketen:
- Prioriteit 1: $q$ is klein ( $\le 10^6$ ) $\rightarrow$ Zoekopdracht in een permanent resident klein-priem bitset (in L2-cache).
- Prioriteit 2: $q$ valt binnen het huidige segment $[A, B]$ $\rightarrow$ Zoekopdracht in het huidige segment-bitset (14 MB in VRAM).
- Prioriteit 3: $q$ ligt tussen de kleine priemgetallen en het segment $\rightarrow$ Deterministische 64-bit Miller-Rabin test.
CPU Fallback: Als de GPU-fase (Phase 1) geen oplossing vindt, wordt er een rigoureuze CPU-fase (Phase 2) gestart die alle mogelijke $p$ -waarden test. In alle experimenten was deze fallback nooit nodig.

C. Extra Tools

Single-Number Checker: Voor individuele 64-bit getallen tot $\approx 1.8 \times 10^{19}$ met behulp van Miller-Rabin.
Arbitrary Precision Checker (Big Check): Gebruikt GMP (GNU Multiple Precision) en OpenMP voor getallen tot $10^{10000}$ . Dit gebruikt een gesynchroniseerde batch-search strategie om thread-ongelijkheid te voorkomen.

3. Belangrijkste Resultaten

Exhaustieve Verificatie tot $10^{12}$ :
- Het framework slaagde erin om de Gouden Conjecture exhaustief te verifiëren tot $10^{12}$ op één enkele NVIDIA RTX 3070 (8 GB VRAM).
- Tijd: Ongeveer 41 minuten voor het volledige bereik van $10^{12}$ .
- Geheugen: Het VRAM-gebruik blijft constant op slechts 14 MB per segment, ongeacht het totale bereik ( $O(1)$ geheugencomplexiteit in $N$ ).
- Succes: Geen enkele tegenvoorbeeld gevonden. De "Phase 1" (GPU-snelweg) slaagde in 100% van de gevallen, wat empirisch bevestigt dat het kleinste priemgetal $p_{min}(n)$ voor alle $n \le 10^{12}$ kleiner is dan $2 \times 10^6$ .
Schaalbaarheid:
- Enkele GPU: Lineaire schaling ( $O(N)$ ) in wandkloktijd.
- Multi-GPU: Getest op 8x H100 en 6x RTX 3090. Er werd bijna lineaire schaling bereikt tot 4 GPU's (efficiëntie >90%). Bij 6 GPU's daalt de efficiëntie licht door CPU-bound zeefconstructie.
- Grote Getallen: De "Big Check" verifieerde een getal van $10^{10000}$ (10.001 cijfers) in 182 seconden op 20 threads.
Vergelijking met Baseline:
- De GPU-oplossing is tot 16x sneller dan de CPU-baseline bij $10^9$ .
- De gesegmenteerde architectuur maakt verificatie mogelijk op hardware die eerder als ontoereikend werd beschouwd voor dit bereik.

4. Betekenis en Bijdragen

Architecturale Doorbraak: Het paper bewijst dat de VRAM-beperking van eerdere GPU-implementationen een architecturaal probleem was (monolithische opslag) en geen fundamentele beperking. Door segmentatie en bit-packing is het geheugengordel volledig verwijderd.
Toegankelijkheid: Het stelt onderzoekers in staat om exhaustieve verificaties uit te voeren op consumenthardware (zoals een RTX 3070) in plaats van afhankelijk te zijn van dure supercomputers of jarenlange gedistribueerde projecten.
Open Source en Reproduceerbaar: De volledige code is beschikbaar, gedocumenteerd en getest op zowel consumenten- als datacenter-hardware.
Empirische Validatie: De resultaten bevestigen de theoretische voorspellingen over de groei van de minimale Goldbach-priemgetallen (de "Goldbach comet") tot $10^{12}$ .

5. Beperkingen en Toekomst

CPU-bound Constructie: De huidige implementatie wordt beperkt door de CPU-tijd die nodig is om de priemtabellen voor elk segment te genereren voordat ze naar de GPU worden gestuurd. Bij hogere bereiken ( $N > 10^{11}$ ) wordt de GPU vaak inactief terwijl deze op de CPU wacht.
Toekomstige Werk: De auteur stelt voor om de zeefconstructie zelf op de GPU te verplaatsen en een "bitwise bulk-marking" kernel te ontwikkelen (geïnspireerd op Oliveira e Silva's volledige dubbele zeef) om de complexiteit te verlagen naar $O(N \log \log N)$ en de Miller-Rabin fallback volledig te elimineren.

Conclusie: GoldbachGPU is een mijlpaal in computergedreven getaltheorie, die bewijst dat met slimme algoritmen en hardware-geoptimaliseerde datastructuren, de verificatie van wiskundige conjecturen op een schaal kan worden gebracht die voorheen alleen met enorme clusters mogelijk was.