The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "The Lang-Trotter conjecture on average for genus-2 curves with S3 reduced automorphism group" de Chihiro Ando y Shushi Harashita.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda una extensión de la conjetura de Lang-Trotter, originalmente formulada para curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ sin multiplicación compleja (CM).

• Contexto Clásico: Lang y Trotter conjeturaron que el número de primos $p < X$ para los cuales una curva elíptica $E$ tiene reducción supersingular es asintóticamente $c \sqrt{X} / \log X$.
• Promedio (Fouvry y Murty): Dado que la conjetura individual sigue abierta, Fouvry y Murty demostraron una versión "promedio" para familias de curvas elípticas, estableciendo que el conteo promedio de primos supersingulares sigue la misma ley asintótica.
• El Problema Actual: El objetivo de este trabajo es extender la conjetura de Lang-Trotter en promedio a curvas de género 2. Específicamente, se enfocan en la familia de curvas hiperelípticas $C_\lambda$ definidas por la ecuación:
  $$C_\lambda : y^2 = x(x-1)(x-\lambda)\left(x - \frac{\lambda-1}{\lambda}\right)\left(x - \frac{1}{1-\lambda}\right)$$
  Estas curvas se caracterizan por tener un grupo de automorfismos reducido que contiene al grupo simétrico $S_3$. El problema central es calcular el promedio del número de primos $p < X$ para los cuales $C_\lambda$ tiene una reducción superspecial (es decir, su variedad jacobiana es isomorfa a un producto de curvas elípticas supersingulares).

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría de números algebraica, geometría aritmética y análisis asintótico. La metodología se estructura en los siguientes pasos clave:

A. Reducción a Curvas Elípticas Asociadas

Utilizando resultados previos de Ibukiyama, Katsura y Oort, establecen que una curva $C_\lambda$ es superspecial si y solo si dos curvas elípticas asociadas, $E_{\Lambda_-(\lambda)}$ y $E_{\Lambda_+(\lambda)}$, son supersingulares. Estas curvas elípticas dependen de $\lambda$ y de la raíz cuadrada $\sqrt{\lambda^2 - \lambda + 1}$.

B. Construcción de Isogenías y Anillos de Endomorfismos

• Isogenías de Grado 3: Construyen explícitamente isogenías de grado 3 entre $E_{\Lambda_-(\lambda)}$ y $E_{\Lambda_+(\lambda)}$. Demuestran que la composición de estas isogenías corresponde a la multiplicación por $-3$.
• Anillos de Endomorfismos: Analizan la estructura de los anillos de endomorfismos de estas curvas elípticas supersingulares sobre $\mathbb{F}_p$.
  • Para $p \equiv 1 \pmod 4$, demuestran que el anillo contiene $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3p}}{2}]$.
  • Para $p \equiv 3 \pmod 4$ (específicamente $p \equiv 11 \pmod{12}$), demuestran que contienen $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-p}}{2}]$.
  • Para $p \equiv 7 \pmod{12}$, prueban que no existen tales curvas supersingulares ($\psi_p = 0$).

C. Polinomios de Clase de Hilbert y Factorización

El conteo de los valores de $\lambda$ que generan curvas supersingulares se reduce a contar las raíces de los polinomios de clase de Hilbert $P_{3p}(X)$ y $P_p(X)$ módulo $p$.

• Utilizan el teorema de levantamiento de Deuring para relacionar las $j$-invariantes de las curvas supersingulares con las raíces de estos polinomios.
• Novedad Técnica: Determinan la factorización de $P_{3p}(X) \pmod p$ para $p \equiv 1 \pmod 4$, un resultado que no estaba disponible en la literatura previa. Utilizan polinomios modulares $\Phi_n(X, Y)$ y fórmulas de Gross-Zagier para calcular las multiplicidades de las raíces.

D. Cálculo del Promedio (Análisis Asintótico)

Una vez obtenido el valor exacto $\psi_p$ (el número de $\lambda \in \mathbb{F}_p$ para los cuales $C_\lambda$ es superspecial), aplican el método de Fouvry y Murty:

1. Expresan la suma total sobre $\lambda$ como una suma sobre primos $p < X$ de $\psi_p$ multiplicada por la densidad de $\lambda$ en $\mathbb{F}_p$.
2. Sustituyen $\psi_p$ por expresiones que involucran los números de clase $h(-3p)$ y $h(-p)$.
3. Utilizan la fórmula de Dirichlet para los números de clase y desigualdades de Polya-Vinogradov para estimar sumas de caracteres de Kronecker, obteniendo el comportamiento asintótico final.

3. Contribuciones Clave

1. Generalización a Género 2: Es la primera extensión de la conjetura de Lang-Trotter en promedio a curvas de género 2 con grupo de automorfismos $S_3$.
2. Fórmula Exacta para $\psi_p$: Derivan una fórmula exacta para el número de curvas supersingulares en la familia $C_\lambda$ sobre $\mathbb{F}_p$ en términos de números de clase:
   • Si $p \equiv 1 \pmod 4$: $\psi_p = \frac{3}{2}h(-3p)$.
   • Si $p \equiv 11 \pmod{12}$: $\psi_p = 3h(-p)$.
   • Si $p \equiv 7 \pmod{12}$: $\psi_p = 0$.
3. Factorización de Polinomios de Clase: Proporcionan una observación detallada y nueva sobre la factorización de $P_{3p}(X) \pmod p$ para $p \equiv 1 \pmod 4$, determinando las multiplicidades de las raíces (especialmente para las invariantes $j=8000$ y $j=54000$).
4. Gráficos de Invariantes $j$: Introducen una estructura gráfica ($G_p$) para contar las soluciones de $\lambda$ basándose en las relaciones entre las invariantes $j$ de las curvas elípticas asociadas, demostrando propiedades de grado y bucles en estos grafos.

4. Resultados Principales

El artículo establece tres teoremas principales:

• Teorema A (Conteo Local): Establece la fórmula exacta de $\psi_p$ mencionada arriba, conectando el conteo de curvas supersingulares con los números de clase de cuerpos cuadráticos imaginarios de discriminantes $-3p$ y $-p$.
• Teorema B (Promedio para $\lambda \in \mathbb{Z}$): Para $N > X^{1+\epsilon}$, el promedio del número de primos supersingulares para $|\lambda| \le N$ es:
  $$\frac{1}{N} \sum_{|\lambda| \le N} \phi_\lambda(X) \sim \frac{(6 + 4\sqrt{3})\pi}{9} \frac{\sqrt{X}}{\log X}$$
• Teorema C (Promedio para $\lambda \in \mathbb{Q}$): Para la altura de $\lambda$ (definida como $\max(|a|, |b|)$ para $\lambda=b/a$) menor que $N$, el promedio es:
  $$\frac{1}{N^2} \sum_{\text{ht}(\lambda) \le N} \phi_\lambda(X) \sim \frac{4(3 + 2\sqrt{3})}{3\pi} \frac{\sqrt{X}}{\log X}$$

Ambos resultados confirman que la ley asintótica $\sqrt{X}/\log X$ se mantiene para esta familia de curvas de género 2, aunque con constantes diferentes a las de las curvas elípticas, reflejando la estructura más compleja de los grupos de automorfismos y las isogenías involucradas.

5. Significado e Impacto

• Avance en la Conjetura de Lang-Trotter: Este trabajo es un paso crucial hacia la comprensión del comportamiento estadístico de las reducciones supersingulares en dimensiones superiores (género > 1).
• Conexión Profunda con Teoría de Números: El artículo ilustra fuertemente la conexión entre la geometría de curvas hiperelípticas, la teoría de isogenías, los polinomios modulares y los números de clase de cuerpos cuadráticos.
• Herramientas Nuevas: La metodología desarrollada para contar puntos supersingulares en familias con simetría $S_3$ y el análisis de la factorización de $P_{3p}(X)$ proporcionan herramientas que pueden ser aplicadas a otras familias de curvas de género 2 o superiores.
• Validación de Modelos Heurísticos: Los resultados validan que, incluso para curvas de género 2 con grupos de automorfismos no triviales, la distribución de primos supersingulares sigue un patrón predecible gobernado por la teoría de números analítica, similar al caso elíptico.

En resumen, el artículo extiende exitosamente un marco teórico fundamental de la teoría de curvas elípticas al mundo de las curvas de género 2, resolviendo problemas técnicos significativos relacionados con la estructura de sus endomorfismos y la aritmética de sus invariantes modulares.